Областная олимпиада по математике, 2008 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Последовательность

$(a_n )_{n \geq 0}$ определена следующим образом:

$a_0=3$ и

$a_n = 2 + a_0 a_1 \dots a_{n - 1}$ для

$n \geq 1$ .
а) Докажите, что любые два члена этой последовательности являются взаимно простыми натуральными числами
б) Определите

$a_{2008}$ .
комментарий/решение(2)

Задача №2. Дан треугольник

$ABC$ . Пусть

$K$ — середина высоты

$CH$ ,

$I$ — центр вписанной окружности и

$T$ — точка касания вневписанной окружности со стороной

$AB$ . Докажите, что точки

$K$ ,

$I$ ,

$T$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение(4)

Задача №3. В таблице размером

$5 \times n$ , где

$n \in N$ , каждая клетка покрашена красным или синим цветом. Определите наименьшее возможное значение

$n$ такое, что для любой раскраски таблицы можно выбрать 3 строки и 3 столбца, для которых 9 клеток, образованных при их пересечении, имеют одинаковый цвет.
комментарий/решение(3)

Задача №4. Пусть точка

$E$ лежит на стороне

$AC$ , а точка

$F$ лежит на стороне

$BC$ треугольника

$ABC$ , причем

$AE=BF$ . Окружности, описанные около треугольников

$ACF$ и

$BCE$ , пересекаются в точке

$D$ , отличной от

$C$ . Докажите, что

$CD$ – биссектриса

$\angle ACB$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Пусть

$a, b, c$ положительные действительные числа. Докажите неравенство

$\frac{a} {b} + \frac{b} {c} + \frac{c} {a} \geq 3\sqrt {\frac{{a^2 + b^2 + c^2 }} {{ab + bc + ca}}}.$
комментарий/решение(6)

Задача №6. Докажите, что существует бесконечное число натуральных значений

$n$ , для каждого из которых

$n!$ делится нацело на

$n^2+1$ .
комментарий/решение(4)