Областная олимпиада по математике, 2008 год, 10 класс

Пусть точка $E$ лежит на стороне $AC$, а точка $F$ лежит на стороне $BC$ треугольника $ABC$, причем $AE=BF$. Окружности, описанные около треугольников $ACF$ и $BCE$, пересекаются в точке $D$, отличной от $C$. Докажите, что $CD$ – биссектриса $\angle ACB$.

Комментарий/решение

Положим что $CD$ действительно биссектриса $\angle ACB$ ,тогда $AD=DF$ и $BD=DE$ . Тогда из того что $AE=BF$ получим что надо доказать $\angle FBD = \angle DEA$ и $\angle BFD = \angle DAE$ , которая следует из того, что $\angle FBD = 180^{\circ}- \angle DEC = \angle DEA$ , потому что четырехугольник $BDEC$ вписанный , так же и с другим углом.