Математикадан облыстық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 10 сынып

$AE=BF$ болатындай етіп $ABC$ үшбұрышының $AC$ қабырғасынан $E$ нүктесі, ал $BC$ қабырғасынан $F$ нүктесі алынған. $ACF$ және $BCE$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $C$-дан өзге $D$ нүктесінде қиылысады. $CD$ түзуі $\angle ACB$ бұрышының биссектрисасы болатынын дәлелде.

Комментарий/решение

Положим что $CD$ действительно биссектриса $\angle ACB$ ,тогда $AD=DF$ и $BD=DE$ . Тогда из того что $AE=BF$ получим что надо доказать $ \angle FBD = \angle DEA$ и $\angle BFD = \angle DAE$ , которая следует из того, что $ \angle FBD = 180^{\circ}- \angle DEC = \angle DEA$ , потому что четырехугольник $BDEC$ вписанный , так же и с другим углом.