қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2008 год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Последовательность $(a_n )_{n \geq 0}$ определена следующим образом: $a_0=3$ и $a_n = 2 + a_0 a_1 \dots a_{n - 1}$ для $n \geq 1$.
а) Докажите, что любые два члена этой последовательности являются взаимно простыми натуральными числами
б) Определите $a_{2008}$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Дан треугольник $ABC$. Пусть $K$ — середина высоты $CH$, $I$ — центр вписанной окружности и $T$ — точка касания вневписанной окружности со стороной $AB$. Докажите, что точки $K$, $I$, $T$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №3. В таблице размером $5 \times n$, где $n \in N$, каждая клетка покрашена красным или синим цветом. Определите наименьшее возможное значение $n$ такое, что для любой раскраски таблицы можно выбрать 3 строки и 3 столбца, для которых 9 клеток, образованных при их пересечении, имеют одинаковый цвет.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. Пусть точка $E$ лежит на стороне $AC$, а точка $F$ лежит на стороне $BC$ треугольника $ABC$, причем $AE=BF$. Окружности, описанные около треугольников $ACF$ и $BCE$, пересекаются в точке $D$, отличной от $C$. Докажите, что $CD$ – биссектриса $\angle ACB$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Пусть $a, b, c$ положительные действительные числа. Докажите неравенство $$
\frac{a}
{b} + \frac{b}
{c} + \frac{c}
{a} \geq 3\sqrt {\frac{{a^2 + b^2 + c^2 }}
{{ab + bc + ca}}}.
$$
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №6. Докажите, что существует бесконечное число натуральных значений $n$, для каждого из которых $n!$ делится нацело на $n^2+1$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)