Областная олимпиада по математике, 2008 год, 10 класс

Дан треугольник $ABC$. Пусть $K$ — середина высоты $CH$, $I$ — центр вписанной окружности и $T$ — точка касания вневписанной окружности со стороной $AB$. Докажите, что точки $K$, $I$, $T$ лежат на одной прямой.

Комментарий/решение

Пусть $O$- центр данной вневписанной окружности,$ AB=c, AC=b, BC=a$, прямая $TI$ пересекает отрезок $CP$ в точке $K'$ и $CE$ биссектриса треугольника $ABC$.

Тогда по теореме Менелая в треугольнике $CHE$ и секущей $TI$ имеем:

$$ \frac{TE}{TH} \cdot \frac{HK'}{K'C} \cdot \frac{CI}{IE} =1 $$

Так как треугольники $TOE$ и $HCE$ подобные ( $CH$ параллелен $TO$),

$$ \frac{TE}{EH} = \frac{TO}{HC} $$

Откуда получаем $$ \frac{TE}{TH} = \frac{TO}{TO+HC} $$

Однако: $$ S_{ABC}=\frac{CH \cdot{c}}{2}= \frac{TO \cdot{(a+b-c)}}{2}$$

Значит $$ \frac{TE}{TH} = \frac{TO}{TO+HC} =\frac{c}{a+b} $$

Известный факт, что $\frac{CI}{IE} =\frac{a+b}{c} $ ( докажите сами).

Подставляя все это в нашу теорему Менелая, получаем что $$\frac{HK'}{K'C}=1$$

то есть $K=K'$.Значит, $ K,I,T$ лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Возможно так , $\dfrac{CI}{IE} = \dfrac{a+b}{c}$ , биссектриса $CE= \dfrac{2ab \cdot cos \left(\dfrac{\angle C}{2} \right)}{a+b}$ , тогда как $ CI = \dfrac{\dfrac{S}{p}}{sin \left(\dfrac{\angle C}{2} \right) }$ или что тоже самое что $ CI = \dfrac{2ab \cdot cos \left(\dfrac{\angle C}{2} \right) }{a+b+c} $ , откуда $\dfrac{CI}{IE} =\dfrac{ \dfrac{ab}{a+b+c}}{\dfrac{ab}{ a+b } - \dfrac{ab}{a+b+c}} = \dfrac{a+b}{c}$ .

Можно красивее:

$$\dfrac{CI}{IE} = \dfrac{b}{AE}=\dfrac{a}{BE}=\dfrac{b+a}{AE+BE}=\dfrac{a+b}{c}$$

Достаточно показать, что $TI$ пересекает $CH$ в середине. Пусть $D$ - основание биссектрисы из точки $C$, $I_C$ - центр вневписанной окружности касающейся стороны $AB$ треугольника $ABC$. Тогда из того, что $TI_C \bot AB$ и $CH \bot AB$, следует, что $TI_C||CH$. $C,I,D,I_C$ - гармоническая четверка, поэтому при проецировании из точки $T$ на $CH$: $I_C \to \infty$, $D \to H$, $C \to C$, а $I$ должна переходить в середину $CH$, то есть точку $K$, значит $K,I,T$ лежат на одной прямой.