Областная олимпиада по математике, 2008 год, 10 класс
Пусть a,b,c положительные действительные числа. Докажите неравенство ab+bc+ca≥3√a2+b2+c2ab+bc+ca.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Екі жағын квадраттағаннан кейін, келесі теңсіздікті дәлелдейік:
a2b2+b2c2+c2a2+2ac+2cb+2ba≥9(a2+b2+c2)ab+bc+ca
AM-GM теңсіздігінен:
a2b2+ac+ac≥3⋅3√a4b2c2=3a23√a2b2c2≥9a2ab+bc+ca
Демек,
a2b2+2ac≥9a2ab+bc+ca
b2c2+2ba≥9b2ab+bc+ca
c2a2+2cb≥9c2ab+bc+ca
Соңғы үш теңсіздікті қосамыз.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.