Областная олимпиада по математике, 2008 год, 10 класс

Пусть $a, b, c$ положительные действительные числа. Докажите неравенство $$ \frac{a} {b} + \frac{b} {c} + \frac{c} {a} \geq 3\sqrt {\frac{{a^2 + b^2 + c^2 }} {{ab + bc + ca}}}. $$

Комментарий/решение

Мирон, что-бы использовать Коши для 3 чисел должно быть в корене 3 степени.

Спасибо, что заметили

Екі жағын квадраттағаннан кейін, келесі теңсіздікті дәлелдейік:

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{2a}{c}+\frac{2c}{b}+\frac{2b}{a}\ge \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}$

AM-GM теңсіздігінен:

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{a}{c}+\frac{a}{c}\ge 3\cdot \sqrt[3]{\frac{a^4}{b^2c^2}}=\frac{3a^2}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}\ge \frac{9a^2}{ab+bc+ca}$

Демек,

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{2a}{c}\ge \frac{9a^2}{ab+bc+ca}$

$\frac{b^2}{c^2}+\frac{2b}{a}\ge \frac{9b^2}{ab+bc+ca}$

$\frac{c^2}{a^2}+\frac{2c}{b}\ge \frac{9c^2}{ab+bc+ca}$

Соңғы үш теңсіздікті қосамыз.