Математикадан облыстық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

${{({{a}_{n}})}_{n\ge 0}}$ тізбегі былай анықталған:

${{a}_{0}}=3,$ және

$n\ge 1$ үшін

${{a}_{n}}=2+{{a}_{0}}{{a}_{1}}...{{a}_{n-1}}$ .
а) Осы тізбектің кез келген екі мүшесі өзара жай натурал сандар екенін дәлелде.
б)

${{a}_{2008}}$ -ді тап.
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$K$ нүктесі —

$ABC$ үшбұрышының

$CH$ биіктігінің ортасы,

$I$ — осы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі, ал

$T$ — осы үшбұрышқа сыртта іштей сызылған шеңбердің

$AB$ қабырғасын жанайтын нүктесі.

$K$ ,

$I$ ,

$T$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелде.
комментарий/решение(4)

Есеп №3. Өлшемі

$5\times n$ болатын кестенің, мұндағы

$n\in \mathbb{N}$ , әрбір шаршысы қызыл немесе көк түске боялған. Мына шартты қанағаттандыратын

$n$ -нің ең аз мүмкін мәнін тап: кестенің қалай боялғанына қарамастан, қиылысуындағы 9 шаршының түсі бірдей болатын етіп, кестенің 3 жолы мен 3 бағанын табуға болады.
комментарий/решение(3)

Есеп №4.

$AE=BF$ болатындай етіп

$ABC$ үшбұрышының

$AC$ қабырғасынан

$E$ нүктесі, ал

$BC$ қабырғасынан

$F$ нүктесі алынған.

$ACF$ және

$BCE$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер

$C$ -дан өзге

$D$ нүктесінде қиылысады.

$CD$ түзуі

$\angle ACB$ бұрышының биссектрисасы болатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Кез келген оң нақты

$a,b$ және

$c$ сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңдер:

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge 3\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{ab+bc+ca}}.$
комментарий/решение(6)

Есеп №6. \q{6}

$n!$ саны

${{n}^{2}}+1$ санына қалдықсыз бөлінетіндей шексіз көп

$n$ натурал сандары табылатынын дәлелде.
комментарий/решение(4)