қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 10 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. ${{({{a}_{n}})}_{n\ge 0}}$ тізбегі былай анықталған: ${{a}_{0}}=3,$ және $n\ge 1$ үшін ${{a}_{n}}=2+{{a}_{0}}{{a}_{1}}...{{a}_{n-1}}$.
а) Осы тізбектің кез келген екі мүшесі өзара жай натурал сандар екенін дәлелде.
б) ${{a}_{2008}}$-ді тап.
комментарий/решение(2)
а) Осы тізбектің кез келген екі мүшесі өзара жай натурал сандар екенін дәлелде.
б) ${{a}_{2008}}$-ді тап.
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $K$ нүктесі — $ABC$ үшбұрышының $CH$ биіктігінің ортасы, $I$ — осы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі, ал $T$ — осы үшбұрышқа сыртта іштей сызылған шеңбердің $AB$ қабырғасын жанайтын нүктесі. $K$, $I$, $T$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелде.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №3. Өлшемі $5\times n$ болатын кестенің, мұндағы $n\in \mathbb{N}$, әрбір шаршысы қызыл немесе көк түске боялған. Мына шартты қанағаттандыратын $n$-нің ең аз мүмкін мәнін тап: кестенің қалай боялғанына қарамастан, қиылысуындағы 9 шаршының түсі бірдей болатын етіп, кестенің 3 жолы мен 3 бағанын табуға болады.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №4. $AE=BF$ болатындай етіп $ABC$ үшбұрышының $AC$ қабырғасынан $E$ нүктесі, ал $BC$ қабырғасынан $F$ нүктесі алынған. $ACF$ және $BCE$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $C$-дан өзге $D$ нүктесінде қиылысады. $CD$ түзуі $\angle ACB$ бұрышының биссектрисасы болатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Кез келген оң нақты $a,b$ және $c$ сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңдер:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge 3\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{ab+bc+ca}}.$
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №6. \q{6} $n!$ саны ${{n}^{2}}+1$ санына қалдықсыз бөлінетіндей шексіз көп $n$ натурал сандары табылатынын дәлелде.
комментарий/решение
комментарий/решение