Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2019 год

Задача №1. Натуральное число называется замечательным, если оно представимо в виде произведения двух натуральных чисел с одинаковыми суммами цифр. Например, число 2020 замечательное, так как

$2020=2 \cdot 1010.$ Докажите, что среди первых 2019 натуральных чисел, количество замечательных не более 888. ( Ибатулин И. )
комментарий/решение(1)

Задача №2. На доске написано число 12345678987654321. Канат и Жанат играют в следующую игру: на каждом ходу разрешается выбрать одну цифру (кроме самой первой) и уменьшить ее на 1 или 2 (но при этом, появление отрицательной разности недопустимо). Игру начинает Канат, далее ходят по очереди. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
комментарий/решение(6)

Задача №3. В треугольнике

$ABC$ проведена биссектриса

$AD$ . Чему равен угол

$BAC,$ если угол

$B$ в два раза больше угла

$C$ и

$CD=AD$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №4. Найдите все целые решения уравнения

$8x^3-4=y(6x-y^2).$
комментарий/решение(1)

Задача №5. Прямоугольный торт массой 900 грамм разрезан двумя горизонтальными и двумя вертикальными прямыми на 9 прямоугольных кусочков (прямые параллельны сторонам прямоугольника). Докажите, что всегда можно выбрать 3 прямоугольных кусочка, не имеющих общих сторон, чтобы их суммарная масса была не меньше 300 грамм.
комментарий/решение(1)

Задача №6. Как найти общий вес 10 арбузов за 6 взвешиваний, если есть электронные весы, на котором можно взвесить только по 3 арбуза за раз? (На весах нельзя взвешивать 1 или 2 арбуза.)
комментарий/решение(1)

Задача №7. Биссектриса угла

$BAC,$ квадрата

$ABCD,$ пересекает сторону

$BC$ в точке

$M.$ Докажите, что

$AC=BC+BM.$
комментарий/решение(2)

Задача №8. Попарно различные действительные числа

$a,$

$b,$

$c$ удовлетворяют условию:

$a^2-b=b^2-c=c^2-a.$ Вычислите значение следующего выражения:

$(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1).$
комментарий/решение(1)