Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2019 год

Найдите все целые решения уравнения $8x^3-4=y(6x-y^2).$

Комментарий/решение

$$8x^3-4=y (6x-y^2) \qquad \qquad (1)$$

$\textbf{Решение:}$

$$8x^3-4=y (6x-y^2)\Longleftrightarrow 8x^3+y^3=6xy+4\Longleftrightarrow$$

$$\Longleftrightarrow (2x+y)(4x^2-2xy+y^2)=6xy+4$$

Обозначим $a=2x+y, \quad b=4x^2-2xy+y^2$. Перейдем к новым переменным $a,b$: $$6xy=(2x+y)^2-(4x^2-2xy+y^2)=a^2-b$$

В новых обозначениях уравнение (1) примет вид

$$ab=a^2-b+4$$

Отсюда $$b=\frac {a^2+4}{a+1} \Leftrightarrow b=a-1+\frac{5}{a+1}$$

Поскольку $a$ и $b$ - целые, то $\frac{5}{a+1}$ должно быть целым числом. Имеем четыре возможности: $$1) a+1=1;\qquad 2)a+1=-1; \qquad 3)a+1=5; \qquad 4)a+1=-5.$$ Затем находим $x$ и $y$:

$$1) \begin{cases} 2x+y=0\\ 4x^2-2xy+y^2=4\end {cases} \Rightarrow x,y\notin \mathbb{Z}$$

$$2) \begin{cases} 2x+y=-2\\ 4x^2-2xy+y^2=-8\end {cases} \Rightarrow \text{нет решении}$$

$$3) \begin{cases} 2x+y=4\\ 4x^2-2xy+y^2=4\end {cases} \Rightarrow x=1,\quad y=2$$

$$4) \begin{cases} 2x+y=-6\\ 4x^2-2xy+y^2=-7\end {cases} \Rightarrow \text{нет решении}$$

$\textbf{Ответ:} \quad x=1,\quad y=2$.