Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2019 год

На доске написано число 12345678987654321. Канат и Жанат играют в следующую игру: на каждом ходу разрешается выбрать одну цифру (кроме самой первой) и уменьшить ее на 1 или 2 (но при этом, появление отрицательной разности недопустимо). Игру начинает Канат, далее ходят по очереди. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Комментарий/решение

При правильной игре выиграет Канат, так как тут нечетное количество ходов. 39 или 49 тк это зависит от игры, но четного количество ходов никогда не получится

Если мы можем отнять 1 у первой цифры, тогда выиграет Жанат потому что, он будет дополнять ход Каната до 3 и в конце он сделает ход, после которого будет невозможно сделать ход. 81=3*17.

Если мы не можем отнять 1 у первой , тогда выиграет Канат потому что, он может сначала уменьшить какую-то цифру на 2, затем после хода Жаната дополнить его до 3 и в конце он сделает последний ход, после которого будет невозможно сделать ход. 80-2/3.

(непонял смысл слов (кроме самой первой))

Ответ: Қанат

Заметим что если сумма чисел от второй до последней будет равнятся двум или одному то человек попавшийся на них победил

Значит человек попавшийся на 3 проигравыет

Сумма чисел без единицы будет равна 80

Человек попавшийся на число делящееся на 3 проигрывает

Қанат своим ходом может довести число 80 до 78

Значит независимо от хода Жаната Қанат может сделать так чтобы число делилось на 3

@ComplexNumbers, Здесь нельзя так просто рассуждать. Поскольку иногда невозможно отнять 2.

Ответ: При правильной игре выиграет Канат.

Первым ходом он обнулит последнюю 1. Далее он будет симметрично, относительно центра, повторять ходы Жаната, если только он не будет уменьшать среднюю цифру.

Заметим, что средняя цифра, изначально равная 9, делится на 3. Если Жанат будет ее уменьшать на 1, то Канат будет ее уменьшать на 2. И наоборот, если Жанат будет ее уменьшать на 2, то Канат будет ее уменьшать на 1. Таким образом, Канат обеспечит делимость средней цифры на 3 после каждого своего хода.

Таким образом, Канат после каждого своего хода обеспечивает а) делимость средней цифры на 3 и б) "симметричность" относительно центра самого числа (Первая цифра всегда неизменна равна 1, а последняя цифра после первого хода всегда равна 0, при этом оставшиеся цифры, симметричные относительно центра, равны). Заметим, что Жанат каждым своим ходом вынужден нарушить хотя бы одно из условий а) или б). А поскольку последняя тупиковая позиция 10000000000000000 удовлетворяет одновременно условиям а) и б), то Жанат этого числа не сможет получить после своего хода. Таким образом, при правильной своей игре и любых ходов Жаната, выигрывает Канат.