Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2019 год

Прямоугольный торт массой 900 грамм разрезан двумя горизонтальными и двумя вертикальными прямыми на 9 прямоугольных кусочков (прямые параллельны сторонам прямоугольника). Докажите, что всегда можно выбрать 3 прямоугольных кусочка, не имеющих общих сторон, чтобы их суммарная масса была не меньше 300 грамм.

Комментарий/решение

Допустим нельзя никак выбрать такую тройки частей, что суммарная масса будет больше 300 гр. Соответственно, тогда суммарная масса любой тройки частей будет меньше чем 300 гр.

Разрезали торт на девять частей и пронумеровали как указано на картинке (части не обязательно квадраты). Можно выбрать тройки частей следующим образом: 1-6-8, 2-4-9, 3-5-7. Никакая тройка не пересекается между собой.

Если суммарная масса каждой из них меньше чем 300 гр, то общая суммарная масса будет меньше 900 гр. Противоречие.

Соответственно можно выбрать тройки суммарная масса которых будет не меньше чем 300 гр.