қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 9 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Кез келген натурал $n$ саны және теріс емес $a$ нақты саны үшін $n(n+1)a+2n\ge 4\sqrt{a}(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\ldots+\sqrt{n})$ теңсіздігі орындалатынын дәлелде.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер $BC$, $CA$, $AB$ қабырғаларын сәйкесінше $M$, $N$, $P$ нүктелерінде жанайды. $NP$ кесіндісінен $DP\cdot CD=BD\cdot DN$ болатындай етіп $D$ нүктесі алынған. $DM \perp PN$ екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Шеңбер бойымен 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28 сандары кез келген ретпен жазылған (барлығы 10 сан). $N$ арқылы әрбір санға оның екі көршісін қосып алғанда пайда болатын 10 қосындының ең үлкенін белгілейік. $N$-нің ең аз мүмкін мәні қаншаға тең?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышының ішінен $M$ нүктесі алынған және $\angle BAC=70^\circ$, $\angle ABC={{80}^{\circ }}$, $\angle ACM={10}^\circ$, $\angle CBM=20^\circ $ екені белгілі. $AB=MC$ екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{[x,y]}+\dfrac{1}{(x,y)}=\dfrac{1}{2}$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $(x,y)$ натурал сандардың парларын анықта; мұнда $(x,y)$ — $x$ және $y$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші, ал $[x,y]$ — осы сандардың ең кіші ортақ еселігі.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Бір елдің қалалары жалпы саны 100 жолмен қосылған (әрбір жол дәл екі қаланы қосады және әрбір жолмен екі бағытта да жүруге болады). Кез келген үш жолдың ішінен бір қаладан шықпайтын екі жол таңдап алуға болатыны белгілі. Берілген 100 жолдың ішінен бір қаладан шықпайтын 40 жол таңдап алуға болатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)