Областная олимпиада по математике, 2008 год, 9 класс

Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $BC$, $CA$, $AB$ в точках $M$, $N$, $P$ соответственно. Пусть $D$ — точка на стороне $NP$ такая, что $DP\cdot CD=BD\cdot DN$. Докажите, что $DM\perp PN$.

Комментарий/решение

Из соотношения $DC \cdot DP = DN \cdot DB$ получим $\frac{DC}{DN} = \frac{DB}{DP}$. Это значит что $\angle CND = \angle PBD$ , так как учитывая то, что $\angle CND = \angle BPD$ . Но $CN=CM , PB=MB$ , то из подобия треугольники $\Delta NDC , \Delta PDB$ , получим $\frac{CN}{PB} = \frac{DC}{DB}$ , то есть $DM$ это биссектриса угла $\angle CDB$ , значит $\angle NDM = \angle PDM$ , а это возможно тогда когда $\angle NDM = 180^{\circ} - \angle NDM$ , $\angle NDM = 90^{\circ}$ или $DM \perp PN$.