Математикадан облыстық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 9 сынып
ABC үшбұрышына іштей сызылған шеңбер BC, CA, AB қабырғаларын сәйкесінше M, N, P нүктелерінде жанайды. NP кесіндісінен DP⋅CD=BD⋅DN болатындай етіп D нүктесі алынған. DM⊥PN екенін дәлелде.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Из соотношения DC⋅DP=DN⋅DB получим DCDN=DBDP. Это значит что ∠CND=∠PBD , так как учитывая то, что ∠CND=∠BPD . Но CN=CM,PB=MB , то из подобия треугольники ΔNDC,ΔPDB , получим CNPB=DCDB , то есть DM это биссектриса угла ∠CDB , значит ∠NDM=∠PDM , а это возможно тогда когда ∠NDM=180∘−∠NDM , ∠NDM=90∘ или DM⊥PN.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.