Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2008 год, 9 класс


10 чисел 1, 4, 7, , 28 (разница между соседними числами 3) расположили на окружности. Пусть N — наибольшее из 10 сумм, полученных суммированием значений двух соседних чисел к каждому числу. Какое наименьшее возможное значение N?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
8 года 7 месяца назад #

Пусть по кругу стоят числа a1,a2,a3,...,a10. Тогда имеем систему неравенств:

a1+a2+a3<N

a2+a3+a4<N

...

a10+a1+a2<N

Просуммируем эти неравенства получаем:

3(a1+a2+a3+...+a10)<10N

откуда получаем оценку N>43.

Однако каждое число дает при деление на 3 остаток 1. Таким образом сумма любых трех из этих чисел делится на 3. Поэтому наша оценка увеличивается следующим образом N45.

Однако пример на 45 построить не удастся, так как ответ 48. Поясню почему.

Если возьмем суммы a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9 каждая из них по нашей оценке не больше 45. Тогда получаем a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9135 Так как сумма всех этих чисел равно 145, получаем что a10 должен быть не меньше 10. То есть любое из этих чисел должно быть не меньше 10, потому что выбрать тройки можно любые. Противоречие. Таким образом наша оценка еще раз увеличивается до 48. Вот пример для 48: 1,16,22,10,7,28,13,4,25,19.

  1
2 года 11 месяца назад #

Решение чуть полегче: возьмем круг с произвольным расположением, где-то есть единица. Оставшиеся 9 чисел просто разбиваем по 3, пусть в каждой группе сумма равна A1,A2 и A3. Тогда 3N+1A1+A2+A3+1=1+4+...+28=145, откуда N48

Пример для 48: 1 28 16 4 25 13 10 7 22 19