Математикадан облыстық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 9 сынып

Шеңбер бойымен 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28 сандары кез келген ретпен жазылған (барлығы 10 сан). $N$ арқылы әрбір санға оның екі көршісін қосып алғанда пайда болатын 10 қосындының ең үлкенін белгілейік. $N$-нің ең аз мүмкін мәні қаншаға тең?

Комментарий/решение

Пусть по кругу стоят числа $a_1, a_2, a_3,..., a_{10}$. Тогда имеем систему неравенств:

$$a_1+a_2+a_3<N$$

$$a_2+a_3+a_4<N$$

...

$$a_{10}+a_1+a_2<N$$

Просуммируем эти неравенства получаем:

$$3(a_1+ a_2+ a_3+...+ a_{10})<10N$$

откуда получаем оценку $N>43$.

Однако каждое число дает при деление на 3 остаток 1. Таким образом сумма любых трех из этих чисел делится на 3. Поэтому наша оценка увеличивается следующим образом $N \ge45$.

Однако пример на 45 построить не удастся, так как ответ 48. Поясню почему.

Если возьмем суммы $a_1+a_2+a_3, a_4+a_5+a_6, a_7+a_8+a_9$ каждая из них по нашей оценке не больше 45. Тогда получаем $$a_1+a_2+a_3+ a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9\le 135$$ Так как сумма всех этих чисел равно 145, получаем что $a_{10}$ должен быть не меньше 10. То есть любое из этих чисел должно быть не меньше 10, потому что выбрать тройки можно любые. Противоречие. Таким образом наша оценка еще раз увеличивается до 48. Вот пример для 48: 1,16,22,10,7,28,13,4,25,19.

Решение чуть полегче: возьмем круг с произвольным расположением, где-то есть единица. Оставшиеся 9 чисел просто разбиваем по 3, пусть в каждой группе сумма равна $A_1, A_2$ и $A_3$. Тогда $3*N+1 \geq A1+A2+A3+1=1+4+...+28=145,$ откуда $N \geq 48$

Пример для 48: 1 28 16 4 25 13 10 7 22 19