Математикадан облыстық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 9 сынып
Кез келген натурал n саны және теріс емес a нақты саны үшін n(n+1)a+2n≥4√a(√1+√2+…+√n) теңсіздігі орындалатынын дәлелде.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Поделим обе части на 2 получим
(1+2+3+...+n)⋅a+n≥2√a(√1+√2+...+√n)
Если это действительно так , то заменим √a=t, получим квадратное неравенство , дискриминант которого должен быть D<0.
4(√1+√2+...+√n)2≤4n(1+2+3+...+n) , что в свою очередь вытекает из неравенство Коши Буняковского.
n(n+1)a=2(1+2+3+...+n)a
2n=2+2+2+...+2 (n раз).
2a+2 ≥ 2√4a=4√a
4a+2 ≥ 2√8a=4√2a
...
2na+2 ≥ 2√4na=4√na
n(n+1)a+2n=2a+2+4a+2+6a+...+2na+2 ≥ 4√a+4√2a+...+4√na = 4√a(√1+√2+...+√n)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.