Областная олимпиада по математике, 2008 год, 9 класс

Докажите, что для любого натурального числа $n$ и неотрицательного действительного числа $a$ выполняется неравенство $$ n(n + 1)a + 2n \geq 4\sqrt a (\sqrt 1 + \sqrt 2 + \dots + \sqrt n ).$$

Комментарий/решение

Поделим обе части на $2$ получим

$(1+2+3+... + n ) \cdot a + n \geq 2\sqrt{a}(\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n})$

Если это действительно так , то заменим $\sqrt{a}=t$, получим квадратное неравенство , дискриминант которого должен быть $D<0$.

$4(\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n})^2 \leq 4n(1+2+3+...+n)$ , что в свою очередь вытекает из неравенство Коши Буняковского.

Коши-Буняковский теңсіздігі бойынша

$\sqrt1+\sqrt2+...+\sqrt n\le \sqrt{n(1+2+...+n)}=n\sqrt{\frac{n+1}{2}}$

$\Rightarrow 4\sqrt{a}(\sqrt1+\sqrt2+...+\sqrt n)\le 2n\sqrt{2a(n+1)}$

Арифметикалық орта геометриялық ортадан кем емес:

$n(n+1)a+2n\ge 2n\sqrt{2a(n+1)}$

Демек,

$\Rightarrow 4\sqrt{a}(\sqrt1+\sqrt2+...+\sqrt n)\le 2n\sqrt{2a(n+1)}\le n(n+1)a+2n$

$n(n + 1)a = 2(1 + 2 + 3 + ... + n)a$

$2n = 2 + 2 + 2 + ... + 2$ ($n$ раз).

$2a + 2$ $\geq$ $2\sqrt{4a} = 4\sqrt{a}$

$4a + 2$ $\geq$ $2\sqrt{8a} = 4\sqrt{2a}$

$...$

$2na + 2$ $\geq$ $2\sqrt{4na} = 4\sqrt{na}$

$n(n + 1)a + 2n = 2a +2 + 4a + 2 + 6a + ... + 2na + 2$ $\geq$ $4\sqrt{a} + 4\sqrt{2a} + ... + 4\sqrt{na}$ $=$ $4\sqrt{a}(\sqrt{1} + \sqrt{2} + ... + \sqrt{n})$