Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 9 сынып


Кез келген натурал n саны және теріс емес a нақты саны үшін n(n+1)a+2n4a(1+2++n) теңсіздігі орындалатынын дәлелде.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  6
9 года 2 месяца назад #

Поделим обе части на 2 получим

(1+2+3+...+n)a+n2a(1+2+...+n)

Если это действительно так , то заменим a=t, получим квадратное неравенство , дискриминант которого должен быть D<0.

4(1+2+...+n)24n(1+2+3+...+n) , что в свою очередь вытекает из неравенство Коши Буняковского.

  4
5 года назад #

Коши-Буняковский теңсіздігі бойынша

1+2+...+nn(1+2+...+n)=nn+12

4a(1+2+...+n)2n2a(n+1)

Арифметикалық орта геометриялық ортадан кем емес:

n(n+1)a+2n2n2a(n+1)

Демек,

4a(1+2+...+n)2n2a(n+1)n(n+1)a+2n

пред. Правка 4   3
3 месяца 9 дней назад #

n(n+1)a=2(1+2+3+...+n)a

2n=2+2+2+...+2 (n раз).

2a+2 24a=4a

4a+2 28a=42a

...

2na+2 24na=4na

n(n+1)a+2n=2a+2+4a+2+6a+...+2na+2 4a+42a+...+4na = 4a(1+2+...+n)