2-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур, 2017 г.

Задача №1. Пусть

$S=\underbrace{999\ldots 9}_{100\text{ девяток}}:99.$ Найдите сумму цифр числа

Задача №2. Найдите все пары чисел

$\left( a;b \right)$ , для которых выполнено равенство:

${{a}^{2}}+4{{b}^{2}}=2a-1.$
комментарий/решение(1)

Задача №3. Произведение четырех различных натуральных чисел равно 100. Чему равна их сумма?
комментарий/решение(1)

Задача №4. На олимпиаде ученику было предложено 20 задач; 10 из них оцениваются в 2 балла, остальные в 3 балла. До появления результатов, ученик думал, что набрал 26 баллов, перепутав баллы за задачи: двухбалльные он посчитал как за трехбалльные, а трехбалльные как двухбалльные. Но в итоге у него оказалось 24 балла. Сколько всего задач он решил на олимпиаде (общее количество двухбалльных и трехбалльных задач)?
комментарий/решение(2)

Задача №5. В треугольнике

$ABC$ его медиана

$MC$ равна стороне

$AB.$ Пусть

$D$ – середина отрезка

$MC.$ Найдите угол

$ADB.$
комментарий/решение(4)

Задача №6. Чтобы получить число

$a$ , число

$b$ нужно возвести в куб, чтобы получить число

$b$ , число

$c$ нужно возвести в квадрат. В какую степень нужно возвести

$c$ , чтобы получить

$a$ ?
комментарий/решение(4)

Задача №7. Приведите пример двухзначного числа, у которого произведение цифр, умноженное на сумму цифр, равно 84.
комментарий/решение(1)

Задача №8. Из 101 далматинца у 29-ти пятно только на левом ухе, у 17-ти — только на правом ухе, а у 22 далматинцев нет пятен на ушах. Сколько далматинцев имеют пятно на правом ухе?
комментарий/решение(2)

Задача №9. Отрезок

$AB$ пересечен ломаной линией, как показано на рисунке. При этом получилось 5 квадратов. Чему равна длина ломаной

$A{{A}_{1}}{{A}_{2}}\ldots {{A}_{10}}B$ , если длина

$AB$ равна 10 см?

комментарий/решение(5)

Задача №10. Прямоугольная таблица горизонтальными и вертикальными прямыми разбита на единичные клетки, и в каждую клетку записано по одному числу. В таблице 8 столбцов, сумма чисел в каждом столбце равна 10, а в каждой строке равна 20. Сколько в таблице строк?
комментарий/решение

Задача №11. Четверо кузнецов должны подковать 5 лошадей. За какое наименьшее время они могут это сделать, если на одну подкову один кузнец затрачивает 5 минут, а лошадь не может стоять на двух ногах?
комментарий/решение(11)

Задача №12. Числитель дроби увеличили на

$50\%$ . На сколько процентов надо уменьшить её знаменатель, чтобы в итоге дробь возросла втрое?
комментарий/решение(2)

Задача №13. Чему равно минимальное значение функции

$f\left( x \right)={{x}^{2}}+6x+2017$ .
комментарий/решение(1)

Задача №14. Сколько натуральных пар

$\left( x;y \right)$ удовлетворяют уравнению

$x\cdot {{y}^{2}}={{2}^{2017}}$ .
комментарий/решение(2)

Задача №15. Если к натуральному числу

$n$ прибавить сумму его цифр, то получится 2018. Найдите все такие

$n$ .
комментарий/решение(1)

Задача №16. Обозначим через

$n!$ произведение всех натуральных чисел от 1 до

$n.$ Вася заметил, что все числа

$n!,$

$(n+1)!,$

$(n+2)!,$

$(n+3)!$ и

$(n+4)!$ оканчиваются четырьмя ноликами. Сколькими ноликами оканчивается число

$\left( n+5 \right)!$ ?
комментарий/решение(2)

Задача №17. Целое число

$n$ имеет два натуральных делителя, а число

$n+1$ – три натуральных делителя. Сколько натуральных делителей имеет число

$n+2$ ?
комментарий/решение(12)

Задача №18. Два велосипедиста одновременно выезжают навстречу друг другу со скоростями 11 и 14 км/час. В момент выезда расстояние между велосипедистами 75 км. В этот же момент вместе с одним из велосипедистов вылетает муха со скоростью 15 км/час и летит на встречу со вторым велосипедистом, встретившись со вторым велосипедистом, она разворачивается и летит к первому велосипедисту. Затем она снова разворачивается, и так она летает между велосипедистами до момента их встречи. Сколько км пролетела эта муха?
комментарий/решение(1)

Задача №19. Чему равен угол между диагоналями граней куба, изображенными на рисунке ниже?

комментарий/решение(2)

Задача №20. На одной прямой отметили 9 точек, а на другой прямой также отметили 9 точек, и, точку пересечения этих прямых, отметили как 19-ю точку. Сколько имеется треугольников с вершинами в данных точках?
комментарий/решение(1)