1. Олимпиадалар тізімі
  2. Математика олимпиадалары
  3. Қалалық олимпиадалар
  4. Смағұлов атындағы олимпиада (6-7 сыныптар)
  5. Шалтай Смағұлов атындағы 2-ші олимпиада (2017)
  6. 7 класс, 1 тур

2-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур, 2017 г.


Есеп №1. $S=\underbrace{999\ldots 9}_{100 \text{ рет}}:99$ болсын. $S$ санының цифрларының қосындысын табыңыз.
комментарий/решение(1)
Есеп №2. ${{a}^{2}}+4{{b}^{2}}=2a-1$ теңдеуін қанағаттандыратын барлық $\left( a;b \right)$ жұптарын табыңыздар.
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Әртүрлі төрт натурал санның көбейтіндісі 100-ге тең. Олардың қосындысы нешеге тең?
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Олимпиадада оқушыға 20 есеп берілді; оның 10 есебі 2 ұпаймен бағаланады, қалғандары 3 ұпаймен. Нәтижелер шыққанға дейін ол 26 ұпай жинадым деп ойлады, себебі есептерге берілетін ұпайларды шатастырып алды: екі ұпайлық есептерді үш ұпайлықтармен, үш ұпайлықтарды екі ұпайлықтармен. Шын мәнінде ол 24 ұпай жинады. Олимпиадада ол барлығы неше есеп шығарды (үш ұпайлық және екі ұпайлық есептерді санағанда)?
комментарий/решение(2)
Есеп №5. $ABC$ үшбұрышында оның $MC$ медианасы $AB$ қабырғасына тең. $MC$ қабырғасының ортасы $D$ болсын. $ADB$ бұрышын табыңыз.
комментарий/решение(4)
Есеп №6. $a$ санын алу үшін $b$ санын кубтау керек, $b$ санын алу үшін $c$ санын квадраттау керек. $a$ санын алу үшін $c$ санын қандай дәрежеге шығару керек?
комментарий/решение(4)
Есеп №7. Санның цифрларының көбейтіндісі мен цифрларының қосындысының көбейтіндісі 84-ке тең болатындай екі таңбалы санға мысал келтіріңіз.
комментарий/решение(1)
Есеп №8. 101 далматинецтердің 29-ында дақ тек сол жақ құлақтарында бар, 17-сінде – тек оң жақ құлақтарында, ал 22-сінде мүлде құлақтарында дақ жоқ. Оң жақ құлағында дағы бар далматинецтер нешеу?
комментарий/решение(2)
Есеп №9.  $AB$ кесіндісі суретте көрсетілгендей сынық сызықпен кесілген. Бұл ретте 5 шаршы пайда болды. $AB$ 10-ға тең болса, $A{{A}_{1}}{{A}_{2}}\ldots {{A}_{10}}B$ сынығының ұзындығы нешеге тең?


комментарий/решение(5)
Есеп №10. Тіктөртбұрышты кесте горизонталь және вертикаль түзулермен бірлік шаршыларға бөлінген және әр шаршыға бір саннан жазылған. Кестеде 8 баған бар, әр бағандағы сандардың қосындысы 10-ға тең, ал әр жолдағы сандардың қосындысы 20-ға тең. Кестеде неше жол бар?
комментарий/решение
Есеп №11. Төрт ұста 5 атты тағалау керек. Бір тағаға бір ұста 5 минут құртса, ал ат екі аяқта тұра алмаса, онда олар 5 атты ең кем дегенде қанша уақытта тағалайды?
комментарий/решение(11)
Есеп №12. Бөлшектің алымын $50\%$-ке арттырды. Бөлшек үш есе арту үшін бөлшектің бөлімін неше пайызға кеміту керек?
комментарий/решение(2)
Есеп №13. $f\left( x \right)={{x}^{2}}+6x+2017$ функциясының ең кіші мәні нешеге тең?
комментарий/решение(1)
Есеп №14. $x\cdot {{y}^{2}}={{2}^{2017}}$ теңдеуін қанағаттандыратын $\left( x;y \right)$ натурал сандарының қанша жұбы бар?
комментарий/решение(2)
Есеп №15. Егер натурал $n$ санына оның цифрларының қосындысын қосса, 2018 саны шығады. Осындай барлық $n$ саның табыңыздар.
комментарий/решение(1)
Есеп №16. $n!$ белгісі арқылы 1-ден $n$-ге дейінгі барлық натуралды сандардың көбейтіндісін белгілейік. Вася $n!,$ $(n+1)!,$ $(n+2)!,$ $(n+3)!,$ $(n+4)!$ сандарының барлығы төрт нөлмен аяқталатының байқады. $\left( n+5 \right)!$ саны неше нөлмен аяқталады?
комментарий/решение(2)
Есеп №17. Бүтін $n$ санының екі натурал бөлгіші бар, ал $n+1$ санының үш натурал бөлгіші бар. $n+2$ санының неше натурал бөлгіші бар?
комментарий/решение(12)
Есеп №18. Екі велошабандоз бір уақытта, бір-біріне қарама-қарсы бағытта 11 және 14 км/сағ жылдамдығымен жолға шығады. Ең басында 2 велошабандоз арасындағы ара-қашықтық 75км құрады. Бірінші велошабандозбен бір уақытта және бір бағытта 15км/сағ жылдамдықпен шыбын ұшып шығып, екінші велошабандозбен кездескен кезде шыбын кері бұрылып бірінші велошабандозға қарай ұша бастайды. Шыбын осы әрекетін қайталап екі велошабандоз бір-бірімен кездескенге дейін араларында ұшып жүреді. Шыбын қанша км ұшып өтті?
комментарий/решение(1)
Есеп №19. Төмендегі суретте көрсетілген кубтың қырларымен жүргізілген диагональдері арасындағы бұрышты тап?


комментарий/решение(2)
Есеп №20. Бір түзуде 9 нүкте белгіленген, және екінші түзуде тағы 9 нүкте белгіленген. Осы екі түзудің қиылысу нүктесін 19-шы нүкте ретінде алған. Төбелері осы нүктелерде болатын қанша үшбұрыш бар?
комментарий/решение(1)