2-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур, 2017 г.

Есеп №1.

$S=\underbrace{999\ldots 9}_{100 \text{ рет}}:99$ болсын.

$S$ санының цифрларының қосындысын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

${{a}^{2}}+4{{b}^{2}}=2a-1$ теңдеуін қанағаттандыратын барлық

$\left( a;b \right)$ жұптарын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Әртүрлі төрт натурал санның көбейтіндісі 100-ге тең. Олардың қосындысы нешеге тең?
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Олимпиадада оқушыға 20 есеп берілді; оның 10 есебі 2 ұпаймен бағаланады, қалғандары 3 ұпаймен. Нәтижелер шыққанға дейін ол 26 ұпай жинадым деп ойлады, себебі есептерге берілетін ұпайларды шатастырып алды: екі ұпайлық есептерді үш ұпайлықтармен, үш ұпайлықтарды екі ұпайлықтармен. Шын мәнінде ол 24 ұпай жинады. Олимпиадада ол барлығы неше есеп шығарды (үш ұпайлық және екі ұпайлық есептерді санағанда)?
комментарий/решение(2)

Есеп №5.

$ABC$ үшбұрышында оның

$MC$ медианасы

$AB$ қабырғасына тең.

$MC$ қабырғасының ортасы

$D$ болсын.

$ADB$ бұрышын табыңыз.
комментарий/решение(4)

Есеп №6.

$a$ санын алу үшін

$b$ санын кубтау керек,

$b$ санын алу үшін

$c$ санын квадраттау керек.

$a$ санын алу үшін

$c$ санын қандай дәрежеге шығару керек?
комментарий/решение(4)

Есеп №7. Санның цифрларының көбейтіндісі мен цифрларының қосындысының көбейтіндісі 84-ке тең болатындай екі таңбалы санға мысал келтіріңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №8. 101 далматинецтердің 29-ында дақ тек сол жақ құлақтарында бар, 17-сінде – тек оң жақ құлақтарында, ал 22-сінде мүлде құлақтарында дақ жоқ. Оң жақ құлағында дағы бар далматинецтер нешеу?
комментарий/решение(2)

Есеп №9.

$AB$ кесіндісі суретте көрсетілгендей сынық сызықпен кесілген. Бұл ретте 5 шаршы пайда болды.

$AB$ 10-ға тең болса,

$A{{A}_{1}}{{A}_{2}}\ldots {{A}_{10}}B$ сынығының ұзындығы нешеге тең?

комментарий/решение(5)

Есеп №10. Тіктөртбұрышты кесте горизонталь және вертикаль түзулермен бірлік шаршыларға бөлінген және әр шаршыға бір саннан жазылған. Кестеде 8 баған бар, әр бағандағы сандардың қосындысы 10-ға тең, ал әр жолдағы сандардың қосындысы 20-ға тең. Кестеде неше жол бар?
комментарий/решение

Есеп №11. Төрт ұста 5 атты тағалау керек. Бір тағаға бір ұста 5 минут құртса, ал ат екі аяқта тұра алмаса, онда олар 5 атты ең кем дегенде қанша уақытта тағалайды?
комментарий/решение(11)

Есеп №12. Бөлшектің алымын

$50\%$ -ке арттырды. Бөлшек үш есе арту үшін бөлшектің бөлімін неше пайызға кеміту керек?
комментарий/решение(2)

Есеп №13.

$f\left( x \right)={{x}^{2}}+6x+2017$ функциясының ең кіші мәні нешеге тең?
комментарий/решение(1)

Есеп №14.

$x\cdot {{y}^{2}}={{2}^{2017}}$ теңдеуін қанағаттандыратын

$\left( x;y \right)$ натурал сандарының қанша жұбы бар?
комментарий/решение(2)

Есеп №15. Егер натурал

$n$ санына оның цифрларының қосындысын қосса, 2018 саны шығады. Осындай барлық

$n$ саның табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №16.

$n!$ белгісі арқылы 1-ден

$n$ -ге дейінгі барлық натуралды сандардың көбейтіндісін белгілейік. Вася

$n!,$

$(n+1)!,$

$(n+2)!,$

$(n+3)!,$

$(n+4)!$ сандарының барлығы төрт нөлмен аяқталатының байқады.

$\left( n+5 \right)!$ саны неше нөлмен аяқталады?
комментарий/решение(2)

Есеп №17. Бүтін

$n$ санының екі натурал бөлгіші бар, ал

$n+1$ санының үш натурал бөлгіші бар.

$n+2$ санының неше натурал бөлгіші бар?
комментарий/решение(12)

Есеп №18. Екі велошабандоз бір уақытта, бір-біріне қарама-қарсы бағытта 11 және 14 км/сағ жылдамдығымен жолға шығады. Ең басында 2 велошабандоз арасындағы ара-қашықтық 75км құрады. Бірінші велошабандозбен бір уақытта және бір бағытта 15км/сағ жылдамдықпен шыбын ұшып шығып, екінші велошабандозбен кездескен кезде шыбын кері бұрылып бірінші велошабандозға қарай ұша бастайды. Шыбын осы әрекетін қайталап екі велошабандоз бір-бірімен кездескенге дейін араларында ұшып жүреді. Шыбын қанша км ұшып өтті?
комментарий/решение(1)

Есеп №19. Төмендегі суретте көрсетілген кубтың қырларымен жүргізілген диагональдері арасындағы бұрышты тап?

комментарий/решение(2)

Есеп №20. Бір түзуде 9 нүкте белгіленген, және екінші түзуде тағы 9 нүкте белгіленген. Осы екі түзудің қиылысу нүктесін 19-шы нүкте ретінде алған. Төбелері осы нүктелерде болатын қанша үшбұрыш бар?
комментарий/решение(1)