қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 10 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Бір бұрыштың синусы мен косинусы мәндері $ax^2 + bx + c$ квадрат үшмүшесінің әр түрлі түбірлері болып шықты. $b^2 = a^2 +2ac$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер $AB$ және $BC$ қабырғаларын сәйкесінше $E$ және $F$ нүктелерінде жанайды. $M$ және $N$ нүктелері $A$ және $C$ нүктелерінен сәйкесінше $EF$ түзуіне түсірілген биіктіктер табандары болсын. $ABC$ үшбұрышының қабырғалары арифметикалық прогрессия құраса және $AC$ оның ортаңғы қабырғасы болса, $ME+ FN = EF$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №3. Сыныптық математикалық конкурста 10 жеңіл және 10 қиын есеп берілді. Барлық оқушылар шығарған есептер саны әрбірінде әр түрлі екені белгілі болды және Вася барлығынан аз шығарды. Әділ қазылар әрбір қиын есепке 2 ұпайдан, әр жеңіл есепке 1 ұпайдан берді. Вася барлығынан көп ұпай жинады. Конкурсқа ең көп дегенде қанша оқушы қатысуы мүмкін?
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Есеп №4. Теңдеуді шешіңіздер: $3(p^q+q^p)=n!$, мұндағы $p$, $q$ — жай сандар, $n$ — натурал сан.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Ешбір екі түзу параллель болмайтындай жазықтықта 12 түзу жүргізілді. Осы түзулер арқылы ең көп дегенде қанша теңбүйірлі үшбұрыштар құралады?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. Теңдеуді натурал сандар жүйесінде шешіңіздер: $\textit{ЕКОЕ}(a,b)+\textit{ЕҮОБ}(a,b) = ab$.
(ЕҮОБ — ең үлкен ортақ бөлгіш, ЕКОЕ — ең кіші ортақ еселік).
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №7. $ABC$ үшбұрышының $AC$, $BA$, $BC$ қабырғаларынан сәйкесінше $\angle AKL = \angle CKM = \angle ABC$ болатындай $K$, $L$, $M$ нүктелері алынған. $AM$ және $CL$ кесінділері $P$ нүктесінде қиылысады. $L$, $B$, $M$, $P$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №8. Вася $N$ натурал санын айтты. Сосын Петя $N$ санының цифрларының қосындысын, сосын $N + 13N$ санының цифрлар қосындысын, сосын $N + 2\cdot 13N$ санының цифрлар қосындысын, сосын $N + 3\cdot 13 N$ санының цифрлар қосындысын және т.с.с. есептеді. Әрбір есептегендегі саны оған дейінгі есептеген санынан үлкен болуы мүмкін бе?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №9. Кез келген он вектордың ішінен қосындысы нөлдік болатын үш вектор таңдай алатындай жазықтықта 2005 нөлдік емес векторлар салуға бола ма?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №10. $N > 1$ тастан тұратын тас үйіндісі бар. Екі адам ойын ойнайды. Бір жүрісте кез келген тас үйіндісінен бір тас алуға немесе кез келген тас үйіндісін қалағаны бойынша екіге бөлуге болады(егер тас үйіндісінде бір тастан көп болса). Ең соңғы тасты алған адам ұтады. Қарсыласы ойынына тәуелсіз қай ойыншы ұтады?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)