Областная олимпиада по математике, 2006 год, 10 класс

Решите уравнение $3(p^q+q^p)=n!$, где $p$, $q$ — простые, $n$ — натуральное.

Комментарий/решение

$q^p + p^q \equiv 2\pmod {4}$ допустим это будет фактом , тогда мы заметим что $3q^p+3p^q \equiv 2\pmod {4}$ тогда если $n\geq 4$ то это не имеет решений если разбирая $n=3,2,1$ невозможно

$q^p + p^q \equiv 0\pmod {4}$ Тогда заметим что $n\geq 4$ Пусть $p \ne q$ тогда заметим если $n\geq p$ или $n\geq q $ то у нас противоречие тогда у нас обязательно $n<p,q$

Факт если $n,m>d$ то $n^m,m^n>d!$ используя этот факт противоречие тогда у нас обязательно $p=q$ тогда $6p^p=n!$ но так как $n \equiv 0 \pmod {2,3,p}$ и с другими простыми делителями он не может давать $0$ тогда если $p\geq 7$ то $n\equiv 0 \pmod {5}$ что нельзя тогда $p=5,3,2$ разбирая варианты ответы $p=2,n=4$

вариант где один из них чет другой нечет невозможен иначе $n=1$ а это уже противоречие