Областная олимпиада по математике, 2006 год, 10 класс
Решите уравнение 3(pq+qp)=n!, где p, q — простые, n — натуральное.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
q^p + p^q \equiv 2\pmod {4} допустим это будет фактом , тогда мы заметим что 3q^p+3p^q \equiv 2\pmod {4} тогда если n\geq 4 то это не имеет решений если разбирая n=3,2,1 невозможно
q^p + p^q \equiv 0\pmod {4} Тогда заметим что n\geq 4 Пусть p \ne q тогда заметим если n\geq p или n\geq q то у нас противоречие тогда у нас обязательно n<p,q
Факт если n,m>d то n^m,m^n>d! используя этот факт противоречие тогда у нас обязательно p=q тогда 6p^p=n! но так как n \equiv 0 \pmod {2,3,p} и с другими простыми делителями он не может давать 0 тогда если p\geq 7 то n\equiv 0 \pmod {5} что нельзя тогда p=5,3,2 разбирая варианты ответы p=2,n=4
вариант где один из них чет другой нечет невозможен иначе n=1 а это уже противоречие
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.