Областная олимпиада по математике, 2006 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Синус и косинус некоторого угла оказались различными корнями квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$. Докажите, что $b^2 = a^2 +2ac$.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Точки $M$ и $N$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек $A$ и $C$ на прямую $EF$. Докажите, что если стороны треугольника $ABC$ образуют арифметическую прогрессию и $AC$ — средняя сторона, то $ME+ FN = EF$.
комментарий/решение(5)

Задача №3. На классном математическом конкурсе выдали 10 легких и 10 сложных задач. Выяснилось, что все участники решили разное количество задач, причем Вася решил меньше всех. Однако, когда жюри начислило за каждую сложную задачу по 2 балла, а за каждую простую — по одному. Вася набрал больше баллов, чем любой другой участник. Какое максимальное число детей могло участвовать в конкурсе?
комментарий/решение(6)

Задача №4. Решите уравнение $3(p^q+q^p)=n!$, где $p$, $q$ — простые, $n$ — натуральное.
комментарий/решение(2)

Задача №5. На плоскости провели 12 прямых, никакие две из которых не параллельны. Какое наибольшее число равнобедренных треугольников со сторонами, лежащими на этих прямых, могло образоваться?
комментарий/решение

Задача №6. Решите в натуральных числах уравнение ${\mathop{\hbox{НОК}}\nolimits} (a,b)+{\mathop{\hbox{НОД}}\nolimits} (a,b) = ab$. (НОД — наибольший общий делитель, НОК — наименьшее общее кратное).
комментарий/решение(2)

Задача №7. На сторонах $AC$, $BA$, $BC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $K$, $L$, $M$ так, что $\angle AKL = \angle CKM = \angle ABC$. Отрезки $AM$ и $CL$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что точки $L$, $B$, $M$, $P$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(2)

Задача №8. Вася назвал натуральное число $N$. После чего Петя нашел сумму цифр числа $N$, потом сумму цифр числа $N + 13N$, потом сумму цифр числа $N + 2\cdot 13N$, потом сумму цифр числа $N + 3\cdot 13N$, и т.д. Мог ли он каждый следующий раз получать результат больший предыдущего?
комментарий/решение(1)

Задача №9. Можно ли нарисовать на плоскости 2005 ненулевых векторов так, что из любых десяти из них можно выбрать три с нулевой суммой?
комментарий/решение(1)

Задача №10. Имеется куча из $N > 1$ камней. Двое играют в игру. За один ход можно либо забрать один камень из любой кучи, либо разделить любую имеющуюся кучку на две произвольным образом (если в куче более одного камня). Побеждает тот, кто заберет последний камень. Кто из соперников сможет победить независимо от игры соперника?
комментарий/решение(2)