Областная олимпиада по математике, 2006 год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Синус и косинус некоторого угла оказались различными корнями квадратного трехчлена ax2+bx+c. Докажите, что b2=a2+2ac.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB и BC в точках E и F соответственно. Точки M и N — основания перпендикуляров, опущенных из точек A и C на прямую EF. Докажите, что если стороны треугольника ABC образуют арифметическую прогрессию и AC — средняя сторона, то ME+FN=EF.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №3. На классном математическом конкурсе выдали 10 легких и 10 сложных задач. Выяснилось, что все участники решили разное количество задач, причем Вася решил меньше всех. Однако, когда жюри начислило за каждую сложную задачу по 2 балла, а за каждую простую — по одному. Вася набрал больше баллов, чем любой другой участник. Какое максимальное число детей могло участвовать в конкурсе?
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Задача №4. Решите уравнение 3(pq+qp)=n!, где p, q — простые, n — натуральное.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. На плоскости провели 12 прямых, никакие две из которых не параллельны. Какое наибольшее число равнобедренных треугольников со сторонами, лежащими на этих прямых, могло образоваться?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Решите в натуральных числах уравнение НОК(a,b)+НОД(a,b)=ab.
(НОД — наибольший общий делитель, НОК — наименьшее общее кратное).
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №7. На сторонах AC, BA, BC треугольника ABC взяты соответственно точки K, L, M так, что ∠AKL=∠CKM=∠ABC. Отрезки AM и CL пересекаются в точке P. Докажите, что точки L, B, M, P лежат на одной окружности.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №8. Вася назвал натуральное число N. После чего Петя нашел сумму цифр числа N, потом сумму цифр числа N+13N, потом сумму цифр числа N+2⋅13N, потом сумму цифр числа N+3⋅13N, и т.д. Мог ли он каждый следующий раз получать результат больший предыдущего?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №9. Можно ли нарисовать на плоскости 2005 ненулевых векторов так, что из любых десяти из них можно выбрать три с нулевой суммой?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №10. Имеется куча из N>1 камней. Двое играют в игру. За один ход можно либо забрать один камень из любой кучи, либо разделить любую имеющуюся кучку на две произвольным образом (если в куче более одного камня). Побеждает тот, кто заберет последний камень. Кто из соперников сможет победить независимо от игры соперника?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)