Областная олимпиада по математике, 2006 год, 10 класс

Вася назвал натуральное число $N$. После чего Петя нашел сумму цифр числа $N$, потом сумму цифр числа $N + 13N$, потом сумму цифр числа $N + 2\cdot 13N$, потом сумму цифр числа $N + 3\cdot 13N$, и т.д. Мог ли он каждый следующий раз получать результат больший предыдущего?

Комментарий/решение

$S(N) < S(N + 13N) < … < S(N + 923 \cdot 13N) = S(10^4 \cdot 12N) = S(12N)$ $\Rightarrow$ $S(N) < S(N + 11 \cdot 13N) < S(12N)$ $\Rightarrow$ $S(12N) < S(N)$ Противоречие

$S(N)$ сумма цифр числа $N$