Математикадан облыстық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 10 сынып

Вася $N$ натурал санын айтты. Сосын Петя $N$ санының цифрларының қосындысын, сосын $N + 13N$ санының цифрлар қосындысын, сосын $N + 2\cdot 13N$ санының цифрлар қосындысын, сосын $N + 3\cdot 13 N$ санының цифрлар қосындысын және т.с.с. есептеді. Әрбір есептегендегі саны оған дейінгі есептеген санынан үлкен болуы мүмкін бе?

Комментарий/решение

$S(N) < S(N + 13N) < … < S(N + 923 \cdot 13N) = S(10^4 \cdot 12N) = S(12N)$ $\Rightarrow$ $S(N) < S(N + 11 \cdot 13N) < S(12N)$ $\Rightarrow$ $S(12N) < S(N)$ Противоречие

$S(N)$ сумма цифр числа $N$