Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2006 год, 10 класс


На классном математическом конкурсе выдали 10 легких и 10 сложных задач. Выяснилось, что все участники решили разное количество задач, причем Вася решил меньше всех. Однако, когда жюри начислило за каждую сложную задачу по 2 балла, а за каждую простую — по одному. Вася набрал больше баллов, чем любой другой участник. Какое максимальное число детей могло участвовать в конкурсе?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  5
8 года 11 месяца назад #

Пусть Вася решил x+y задач , причем из них x-простых и y сложных, . В первом начислении он получит x+y баллов, и это- меньший результат. Но после второго начисления у него уже x+2y баллов -самый высокий результат. Следовательно , максимальное количество участников равно x+2y(x+y)=y; теперь ограничим значение y. По усоовию сложных задач было 10. Поэтому и максимальное количество участников 10.

Ответ:10 участников.

  4
2 года 10 месяца назад #

Ответ:5

Пусть Вася решил x сложных и y простых задач. Из условия следует, что каждый участник кроме Васи решил не менее x+y+1 задач. Также у Васи 2х+у баллов, и это наибольший результат. Допустим, результат участника, кроме Васи, с наибольшим кол-вом баллов- 2х+у-к, где к не меньше одного(если таковых несколько, то возьмем одного из них). Назовем этого участника как А. Тогда разберем два случая:

1) Если 2х+у-к >10.

Заметим, что максимальное кол-во решенных задач участником, у которого более 10-ти баллов достигается, когда он решил 9 или 10 простых задач. Докажем это. Допустим он решил не более восьми задач. У него более 10-ти баллов он решил хотя бы одну сложную задачу. Но тогда, если этот участник вместо сложной решит простую, то у него кол-во решенных задач увеличиться на одну, а кол-во баллов не измениться, и так пока кол-во решенных простых задач не достигнет 9-ти или 10-ти.

Тогда, из вышенаписанного следует, что А, как и любой другой участник, решил не более 2х+ук102+10 задач. Тогда всего участников не более чем 2х+ук+102xy1+1=10ky292<5 Следовательно, участников кроме Васи не более четырех.

2) 2х+у-к 10. Тогда учеников не более чем 2x+y-k-x-y-1+1=x-k . Также 10-xx+y-k x-k. Тогда если х<6 x-k<5. x6 10-x<5. Следовательно, участников кроме Васи не более четырех.

Следовательно, во всех случаях участников кроме Васи не более четырех, следовательно участников не более 5-ти. Пример где 5 участников:

А решил 3 сложных и 9 легких, Б решил 1 сложную и 9 легких ,Г решил 1 сложную и 9 легких, Д решил 1 сложную и 10 легких, и Вася решил 8 сложных. Тогда у каждого не более 15-ти баллов, не менее 9 решенных задач, и нет двух участников с равным кол-вом баллов.

  7
2 года 10 месяца назад #

у меня есть контрпример

  3
2 года 10 месяца назад #

Покажите

пред. Правка 3   6
2 года 10 месяца назад #

a=b=c=1

  3
2 года 10 месяца назад #

клоун