Областная олимпиада по математике, 2006 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Пусть Вася решил x+y задач , причем из них x-простых и y сложных, . В первом начислении он получит x+y баллов, и это- меньший результат. Но после второго начисления у него уже x+2y баллов -самый высокий результат. Следовательно , максимальное количество участников равно x+2y−(x+y)=y; теперь ограничим значение y. По усоовию сложных задач было 10. Поэтому и максимальное количество участников 10.
Ответ:10 участников.
Ответ:5
Пусть Вася решил x сложных и y простых задач. Из условия следует, что каждый участник кроме Васи решил не менее x+y+1 задач. Также у Васи 2х+у баллов, и это наибольший результат. Допустим, результат участника, кроме Васи, с наибольшим кол-вом баллов- 2х+у-к, где к не меньше одного(если таковых несколько, то возьмем одного из них). Назовем этого участника как А. Тогда разберем два случая:
1) Если 2х+у-к >10.
Заметим, что максимальное кол-во решенных задач участником, у которого более 10-ти баллов достигается, когда он решил 9 или 10 простых задач. Докажем это. Допустим он решил не более восьми задач. У него более 10-ти баллов ⇒ он решил хотя бы одну сложную задачу. Но тогда, если этот участник вместо сложной решит простую, то у него кол-во решенных задач увеличиться на одну, а кол-во баллов не измениться, и так пока кол-во решенных простых задач не достигнет 9-ти или 10-ти.
Тогда, из вышенаписанного следует, что А, как и любой другой участник, решил не более 2х+у−к−102+10 задач. Тогда всего участников не более чем 2х+у−к+102−x−y−1+1=10−k−y2≤92<5 Следовательно, участников кроме Васи не более четырех.
2) 2х+у-к ≤10. Тогда учеников не более чем 2x+y-k-x-y-1+1=x-k . Также 10-x≥x+y-k≥ x-k. Тогда если х<6 ⇒ x-k<5. x≥6 ⇒ 10-x<5. Следовательно, участников кроме Васи не более четырех.
Следовательно, во всех случаях участников кроме Васи не более четырех, следовательно участников не более 5-ти. Пример где 5 участников:
А решил 3 сложных и 9 легких, Б решил 1 сложную и 9 легких ,Г решил 1 сложную и 9 легких, Д решил 1 сложную и 10 легких, и Вася решил 8 сложных. Тогда у каждого не более 15-ти баллов, не менее 9 решенных задач, и нет двух участников с равным кол-вом баллов.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.