Областная олимпиада по математике, 2006 год, 10 класс

На классном математическом конкурсе выдали 10 легких и 10 сложных задач. Выяснилось, что все участники решили разное количество задач, причем Вася решил меньше всех. Однако, когда жюри начислило за каждую сложную задачу по 2 балла, а за каждую простую — по одному. Вася набрал больше баллов, чем любой другой участник. Какое максимальное число детей могло участвовать в конкурсе?

Комментарий/решение

Пусть Вася решил $x+y$ задач , причем из них $x$-простых и $y$ сложных, . В первом начислении он получит $x+y$ баллов, и это- меньший результат. Но после второго начисления у него уже $x+2y$ баллов -самый высокий результат. Следовательно , максимальное количество участников равно $x+2y-(x+y)=y$; теперь ограничим значение $y$. По усоовию сложных задач было 10. Поэтому и максимальное количество участников 10.

Ответ:10 участников.

Ответ:5

Пусть Вася решил x сложных и y простых задач. Из условия следует, что каждый участник кроме Васи решил не менее x+y+1 задач. Также у Васи 2х+у баллов, и это наибольший результат. Допустим, результат участника, кроме Васи, с наибольшим кол-вом баллов- 2х+у-к, где к не меньше одного(если таковых несколько, то возьмем одного из них). Назовем этого участника как А. Тогда разберем два случая:

1) Если 2х+у-к >10.

Заметим, что максимальное кол-во решенных задач участником, у которого более 10-ти баллов достигается, когда он решил 9 или 10 простых задач. Докажем это. Допустим он решил не более восьми задач. У него более 10-ти баллов $\Rightarrow$ он решил хотя бы одну сложную задачу. Но тогда, если этот участник вместо сложной решит простую, то у него кол-во решенных задач увеличиться на одну, а кол-во баллов не измениться, и так пока кол-во решенных простых задач не достигнет 9-ти или 10-ти.

Тогда, из вышенаписанного следует, что А, как и любой другой участник, решил не более $\frac{2х+у-к-10}{2} +10$ задач. Тогда всего участников не более чем $$ \frac{2х+у-к+10}{2}-x-y-1+1= \frac{10-k-y}{2}\leq \frac{9}{2} <5$$ Следовательно, участников кроме Васи не более четырех.

2) 2х+у-к $\leq$10. Тогда учеников не более чем 2x+y-k-x-y-1+1=x-k . Также 10-x$\geq$x+y-k$\geq$ x-k. Тогда если х<6 $\Rightarrow$ x-k<5. x$\geq$6 $\Rightarrow$ 10-x<5. Следовательно, участников кроме Васи не более четырех.

Следовательно, во всех случаях участников кроме Васи не более четырех, следовательно участников не более 5-ти. Пример где 5 участников:

А решил 3 сложных и 9 легких, Б решил 1 сложную и 9 легких ,Г решил 1 сложную и 9 легких, Д решил 1 сложную и 10 легких, и Вася решил 8 сложных. Тогда у каждого не более 15-ти баллов, не менее 9 решенных задач, и нет двух участников с равным кол-вом баллов.

у меня есть контрпример

Покажите

$a=b=c=\sqrt{-1}$

клоун