Математикадан облыстық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 10 сынып

Сыныптық математикалық конкурста 10 жеңіл және 10 қиын есеп берілді. Барлық оқушылар шығарған есептер саны әрбірінде әр түрлі екені белгілі болды және Вася барлығынан аз шығарды. Әділ қазылар әрбір қиын есепке 2 ұпайдан, әр жеңіл есепке 1 ұпайдан берді. Вася барлығынан көп ұпай жинады. Конкурсқа ең көп дегенде қанша оқушы қатысуы мүмкін?

Комментарий/решение

Пусть Вася решил $x+y$ задач , причем из них $x$-простых и $y$ сложных, . В первом начислении он получит $x+y$ баллов, и это- меньший результат. Но после второго начисления у него уже $x+2y$ баллов -самый высокий результат. Следовательно , максимальное количество участников равно $x+2y-(x+y)=y$; теперь ограничим значение $y$. По усоовию сложных задач было 10. Поэтому и максимальное количество участников 10.

Ответ:10 участников.

Ответ:5

Пусть Вася решил x сложных и y простых задач. Из условия следует, что каждый участник кроме Васи решил не менее x+y+1 задач. Также у Васи 2х+у баллов, и это наибольший результат. Допустим, результат участника, кроме Васи, с наибольшим кол-вом баллов- 2х+у-к, где к не меньше одного(если таковых несколько, то возьмем одного из них). Назовем этого участника как А. Тогда разберем два случая:

1) Если 2х+у-к >10.

Заметим, что максимальное кол-во решенных задач участником, у которого более 10-ти баллов достигается, когда он решил 9 или 10 простых задач. Докажем это. Допустим он решил не более восьми задач. У него более 10-ти баллов $\Rightarrow$ он решил хотя бы одну сложную задачу. Но тогда, если этот участник вместо сложной решит простую, то у него кол-во решенных задач увеличиться на одну, а кол-во баллов не измениться, и так пока кол-во решенных простых задач не достигнет 9-ти или 10-ти.

Тогда, из вышенаписанного следует, что А, как и любой другой участник, решил не более $\frac{2х+у-к-10}{2} +10$ задач. Тогда всего участников не более чем $$ \frac{2х+у-к+10}{2}-x-y-1+1= \frac{10-k-y}{2}\leq \frac{9}{2} <5$$ Следовательно, участников кроме Васи не более четырех.

2) 2х+у-к $\leq$10. Тогда учеников не более чем 2x+y-k-x-y-1+1=x-k . Также 10-x$\geq$x+y-k$\geq$ x-k. Тогда если х<6 $\Rightarrow$ x-k<5. x$\geq$6 $\Rightarrow$ 10-x<5. Следовательно, участников кроме Васи не более четырех.

Следовательно, во всех случаях участников кроме Васи не более четырех, следовательно участников не более 5-ти. Пример где 5 участников:

А решил 3 сложных и 9 легких, Б решил 1 сложную и 9 легких ,Г решил 1 сложную и 9 легких, Д решил 1 сложную и 10 легких, и Вася решил 8 сложных. Тогда у каждого не более 15-ти баллов, не менее 9 решенных задач, и нет двух участников с равным кол-вом баллов.

у меня есть контрпример

Покажите

$a=b=c=\sqrt{-1}$

клоун