Областная олимпиада по математике, 2006 год, 10 класс

Решите в натуральных числах уравнение ${\mathop{\hbox{НОК}}\nolimits} (a,b)+{\mathop{\hbox{НОД}}\nolimits} (a,b) = ab$. (НОД — наибольший общий делитель, НОК — наименьшее общее кратное).

Комментарий/решение

Для начала проверим, являются ли числа $a$ и $b$ взаимно простыми числами. Пусть они взаимно просты. Тогда НОК этик чисел будет равен $ab,$ а НОД будет равен 1. Получим $ab+1=ab,$ что невозможно. Значит, числа $a$ и $b$ имеют хотя бы один общий множитель. Пусть $a=nx$ и $b=ny$. В таком случае $НОК (a, b) =nxy$, $НОД(a, b)=n$, а уравнение можно переписать как $nxy+n=n^2 xy$ или $n (xy+1-nxy)=0$. Явно $n$ не может равняться нулю , поэтому нулю равна скобка, или $xy-nxy=-1$ или $nxy-xy=1$ или $xy(n-1)=1$. Учитывая, что числа $x, y, n$ натуральные, то ясно, что $n=2, \ x=y=1$. А из это следует, что $ a=b=2$. Это решение единственное.

$\left\{ \begin{array}{l} [a,b]+(a,b)=ab\\ [a,b](a,b)=ab \end{array} \right.$

$[a,b]=(a,b)([a,b]-1)$

$\left\{ \begin{array}{l} [a,b]=(a,b) \\ [a,b]-1=1 \end{array} \right.$

$[a,b]=(a,b)=2$

$a=b=2$