Математикадан облыстық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 10 сынып
Теңдеуді натурал сандар жүйесінде шешіңіздер: ЕКОЕ(a,b)+ЕҮОБ(a,b)=ab.
(ЕҮОБ — ең үлкен ортақ бөлгіш, ЕКОЕ — ең кіші ортақ еселік).
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Для начала проверим, являются ли числа a и b взаимно простыми числами. Пусть они взаимно просты. Тогда НОК этик чисел будет равен ab, а НОД будет равен 1. Получим ab+1=ab, что невозможно. Значит, числа a и b имеют хотя бы один общий множитель. Пусть a=nx и b=ny. В таком случае НОК(a,b)=nxy, НОД(a,b)=n, а уравнение можно переписать как nxy+n=n2xy или n(xy+1−nxy)=0. Явно n не может равняться нулю , поэтому нулю равна скобка, или xy−nxy=−1 или nxy−xy=1 или xy(n−1)=1. Учитывая, что числа x,y,n натуральные, то ясно, что n=2, x=y=1. А из это следует, что a=b=2. Это решение единственное.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.