Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 10 сынып


Теңдеуді натурал сандар жүйесінде шешіңіздер: ЕКОЕ(a,b)+ЕҮОБ(a,b)=ab. (ЕҮОБ — ең үлкен ортақ бөлгіш, ЕКОЕ — ең кіші ортақ еселік).
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   5 | Модератормен тексерілді
7 года 9 месяца назад #

Для начала проверим, являются ли числа a и b взаимно простыми числами. Пусть они взаимно просты. Тогда НОК этик чисел будет равен ab, а НОД будет равен 1. Получим ab+1=ab, что невозможно. Значит, числа a и b имеют хотя бы один общий множитель. Пусть a=nx и b=ny. В таком случае НОК(a,b)=nxy, НОД(a,b)=n, а уравнение можно переписать как nxy+n=n2xy или n(xy+1nxy)=0. Явно n не может равняться нулю , поэтому нулю равна скобка, или xynxy=1 или nxyxy=1 или xy(n1)=1. Учитывая, что числа x,y,n натуральные, то ясно, что n=2, x=y=1. А из это следует, что a=b=2. Это решение единственное.

  1
9 года назад #

{[a,b]+(a,b)=ab[a,b](a,b)=ab

[a,b]=(a,b)([a,b]1)

{[a,b]=(a,b)[a,b]1=1

[a,b]=(a,b)=2

a=b=2