Математикадан облыстық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 9 сынып

Есеп №1. Бүтін сандар жиынында теңдеуді шешіңіздер:

$19x^2+28y^2=729.$
комментарий/решение(7)

Есеп №2. Қосындысыны табыңыздар:

$\dfrac{1}{{2!}} + \dfrac{2}{{3!}} + \dots + \dfrac{{n - 1}}{{n!}}$ , мұндағы

$n!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot n.$
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Егер

$a, b, c$ сандары периметрі 2 болатын үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары болса, теңсіздікті дәлелдеңіздер:

$a^2+b^2+c^2+2abc < 2.$
комментарий/решение(3)

Есеп №4. Теңдеулер жүйесін шешіңіздер:

$\left\{ \begin{array}{rcl} xy+y^2+x=5y, \hfill \cr x^2+xy=6y.\hfill \cr \end{array} \right.$
комментарий/решение(3)

Есеп №5. Егер

$a$ ,

$b$ ,

$k$ ,

$n$ оң сандары

$ab > ak+bn$ шартын қанағаттандырса,

$a+b > (\sqrt k + \sqrt n)^2$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

Есеп №6. Егер үшбұрыштың барлық қабрғасы 1-ден кіші болса, онда үшбұрыштың ауданы

$\sqrt 3 /4$ –тен кіші екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

Есеп №7. Қай сан үлкен екенін анықтаңыздар:

$\sqrt{11}$ немесе

$5-\sqrt[3]{5}$ .
комментарий/решение(1)

Есеп №8.

$y=f(x)$ функциясы барлық

$х$ нақты сандарда анықталған, үзіліссіз және келесі шартты қанағаттандырады:

$f(f(x))=f(x)+x$ . Көрсетілген шартты қанағаттандыратын

$f$ екі (нөлге тең емес) функциясын табыңыздар.
комментарий/решение(1)