Областная олимпиада по математике, 2005 год, 9 класс

Решите систему уравнений: $ \left\{ \begin{array}{rcl} xy+y^2+x=5y, \cr x^2+xy=6y. \cr \end{array} \right. $

Комментарий/решение

$$ x^2=6y-xy\Rightarrow y=\frac {x^2}{6-x}$$

$$\frac {x^3}{6-x}+\frac {x^4}{(6-x)^2}+x-\frac {5x^2}{6-x}=0$$

$$\frac {6x^3-x^4+x^4+36x-12x^2+x^3-30x^2+5x^3}{(6-x)^2}=0$$

$$ (6-x)^2 \ne 0 \Rightarrow 6-x\ne0 \Rightarrow x\ne 6$$

$$12x^3-42x^2+36x=0$$

$$6x(2x^2-7x+6)=0$$

$$ x_1=0\Rightarrow y_1= 0$$ $$ x_2=\frac {3}{2}\Rightarrow y_2= \frac {1}{2} $$ $$ x_3=2 \Rightarrow y_3=1$$

Ответ $(х_n; y_n) $ : $(0; 0) (\frac {3}{2}; \frac {1}{2})(2; 1)$

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy - xy - {y^2} - x = 6y - 5y,\\{x^2} - {y^2} = y + x.\end{array} \right.$

$\left(x-y\right) \times \left(x+y\right)=y+x$

$x-y=1$

$x=1+y$

$\left (1+y \right)^2+y\times \left (y+1\right)=6y$

$1+2y+y^2+y^2+y-6y=0$

$2y^2-3y+1=0$

$\left(2y-1\right)×\left(y-1\right)=0$

$|x=2,y=1|x=3/2,y=1/2|x=0,y=0|$

$y^2 - x^2 + x + y = 0$ $\Rightarrow$ $(y + x)(y - x + 1) = 0$

$1)$ $x = -y$. $x^2 - x^2 = -6x$ $\Rightarrow$ $x = 0$

$2)$ $y - x + 1 = 0$ $\Leftrightarrow$ $x = y + 1$ $\Rightarrow$ $y^2 + 2y + 1 + y^2 + y = 6y$ $\Leftrightarrow$$2y^2 - 3y +1 = 0$ $\Rightarrow$ $D$ $=$ $9 - 8 = 1$ $y = \dfrac{3 \pm 1}{4}$ $=$ $1; \dfrac{1}{2}$

$1)$ $y =1$ $\Rightarrow$ $2x = 4$ $\Leftrightarrow$ $x = 2$; $x^2 + x = 6$ $\Rightarrow$ $x = 2; -3$ $\Rightarrow x = 2$

$2)$ $y$ = $\dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow$ $\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{4} + x = \dfrac{5}{2}$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{3x}{2} = \dfrac{9}{4}$ $\Leftrightarrow$ $12x = 18$ $\Leftrightarrow$ $x = \dfrac{3}{2}$; $x^2 + \dfrac{x}{2} = 3$ $\Leftrightarrow$ $2x^2 + x - 6 = 0$ $D$ $=$ $1 + 4 8= 49$ $x = -2; \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$. Но если подставить $x$ и $y$ тогда $\dfrac{9}{4} + \dfrac{1}{3} = 3$ $\varnothing$

Ответы $:$ $x = y = 0$; $x = 2; y = 1$