Областная олимпиада по математике, 2005 год, 9 класс

Задача №1. Решите в целых числах уравнение

$19x^2+28y^2=729.$
комментарий/решение(7)

Задача №2. Найдите сумму:

$\dfrac{1}{{2!}} + \dfrac{2}{{3!}} + \dots + \dfrac{{n - 1}}{{n!}}$ , где

$n!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot n$ .
комментарий/решение(2)

Задача №3. Докажите неравенство:

$a^2+b^2+c^2+2abc<2$ , где

$a, b, c$ — длины сторон треугольника периметра 2.
комментарий/решение(3)

Задача №4. Решите систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{rcl} xy+y^2+x=5y, \cr x^2+xy=6y. \cr \end{array} \right.$
комментарий/решение(3)

Задача №5. Докажите, что если положительные числа

$a$ ,

$b$ ,

$k$ ,

$n$ удовлетворяют неравенству

$ab>ak+bn$ , то

$a+b>(\sqrt k + \sqrt n)^2$ .
комментарий/решение(2)

Задача №6. Докажите, что если все стороны треугольника меньше 1, то его площадь меньше

$\sqrt 3 /4$ .
комментарий/решение(2)

Задача №7. Определите, какое из чисел больше

$\sqrt{11}$ или

$5-\sqrt[3]{5}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №8. Пусть функция

$y=f(x)$ при всех действительных

$x$ определена, непрерывна и удовлетворяет условию:

$f(f(x))=f(x)+x$ . Найдите две такие функции

$f$ (не равные тождественно нулю).
комментарий/решение(1)