Областная олимпиада по математике, 2005 год, 9 класс

Докажите, что если положительные числа $a$, $b$, $k$, $n$ удовлетворяют неравенству $ab>ak+bn$, то $a+b>(\sqrt k + \sqrt n)^2$.

Комментарий/решение

Из условия задачи получим $ab>ak+bn>bn$, т.е. $ab>bn$ или $a>n$. Аналогично, $b>k$. Следовательно разности $(a-n)$ и $(b-k)$ положительны. Тогда $ab>ak+bn$ $\Rightarrow$ $ab-ak-bn+nk>nk$ $\Rightarrow$ $(a-n)(b-k)>nk$ $\Rightarrow$ $2\sqrt{(a-n)(b-k)}>2\sqrt{nk}$. Теперь, из условия и для вышеполученного неравенства применив неравенство Коши получим: $$(\sqrt{k}+\sqrt{n})^2=n+2\sqrt{nk}+k<n+2\sqrt{(a-n)(b-k)}+k<n+(a-n)+(b-k)+k=a+b.$$

$ab>ak+bn \ \Rightarrow \ b(a-n)>ak \Rightarrow \ a-n>\frac{ak}{b}\Rightarrow \ a>n+\frac{ak}{b}$

Дәл осылай, $b>k+\frac{bn}{a}$.

$a+b>n+k+\frac{ak}{b}+\frac{bn}{a}\ge n+k+2\sqrt{\frac{ak}{b}\cdot\frac{bn}{a}}=(\sqrt n+\sqrt k)^2$