Областная олимпиада по математике, 2005 год, 9 класс
Докажите, что если положительные числа $a$, $b$, $k$, $n$
удовлетворяют неравенству $ab>ak+bn$, то $a+b>(\sqrt k + \sqrt n)^2 $.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Из условия задачи получим $ab>ak+bn>bn$, т.е. $ab>bn$ или $a>n$. Аналогично, $b>k$. Следовательно разности $(a-n)$ и $(b-k)$ положительны. Тогда $ab>ak+bn$ $\Rightarrow$ $ab-ak-bn+nk>nk$ $\Rightarrow$ $(a-n)(b-k)>nk$ $\Rightarrow$ $2\sqrt{(a-n)(b-k)}>2\sqrt{nk}$. Теперь, из условия и для вышеполученного неравенства применив неравенство Коши получим: $$(\sqrt{k}+\sqrt{n})^2=n+2\sqrt{nk}+k<n+2\sqrt{(a-n)(b-k)}+k<n+(a-n)+(b-k)+k=a+b.$$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.