Математикадан облыстық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 9 сынып
Егер a, b, k, n оң сандары ab>ak+bn шартын қанағаттандырса, a+b>(√k+√n)2 теңсіздігін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Из условия задачи получим ab>ak+bn>bn, т.е. ab>bn или a>n. Аналогично, b>k. Следовательно разности (a−n) и (b−k) положительны. Тогда ab>ak+bn ⇒ ab−ak−bn+nk>nk ⇒ (a−n)(b−k)>nk ⇒ 2√(a−n)(b−k)>2√nk. Теперь, из условия и для вышеполученного неравенства применив неравенство Коши получим: (√k+√n)2=n+2√nk+k<n+2√(a−n)(b−k)+k<n+(a−n)+(b−k)+k=a+b.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.