Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 9 сынып


Егер a, b, k, n оң сандары ab>ak+bn шартын қанағаттандырса, a+b>(k+n)2 теңсіздігін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   3 | Модератормен тексерілді
8 года 7 месяца назад #

Из условия задачи получим ab>ak+bn>bn, т.е. ab>bn или a>n. Аналогично, b>k. Следовательно разности (an) и (bk) положительны. Тогда ab>ak+bn abakbn+nk>nk (an)(bk)>nk 2(an)(bk)>2nk. Теперь, из условия и для вышеполученного неравенства применив неравенство Коши получим: (k+n)2=n+2nk+k<n+2(an)(bk)+k<n+(an)+(bk)+k=a+b.

  1
2 года назад #

ab>ak+bn  b(an)>ak an>akb a>n+akb

Дәл осылай, b>k+bna.

a+b>n+k+akb+bnan+k+2akbbna=(n+k)2