Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 9 сынып


Егер a,b,c сандары периметрі 2 болатын үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары болса, теңсіздікті дәлелдеңіздер: a2+b2+c2+2abc<2.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
8 года 6 месяца назад #

P=a+b+c=2a<1,b<1,c<1(1c)(1b)(1c)>0

(1a)(1b)(1c)=1(a+b+c)+ab+bc+acabc=1+ab+bc+acabc>0

1+a2+b2+c22+ab+bc+aca2+b2+c22abc=1+(a+b+c)22a2+b2+c22abc>0

1>a2+b2+c22+abca2+b2+c2+2abc2

пред. Правка 2   -2
7 года 4 месяца назад #

a=x+y

b=y+z

c=x+z

2(x+y+z)=2

x+y+z=1

(x+y)^2+(y+z)^2+(x+z)^2+2(x+y)(y+z)(x+z)<2

x^2+2xy+y^2+y^2+2yz+z^2+x^2+2xz+z^2+2(x+y)(y+z)(x+z)<2

2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz+(x+y)(y+z)(x+z))<2

x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz+(x+y)(y+z)(x+z)<1

x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz+(x+y)(y+z)(x+z)<x+y+z

x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz+(x+y)(y+z)(x+z)<(x+y+z)^2

x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz+(x+y)(y+z)(x+z)<x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz

(x+y)(y+z)(x+z)<xy+yz+xz

(x+y)(y+z)(x+z)<(x+y+z)(xy+yz+xz)

xy^2+x^2y+yz^2+y^2z+xz^2+x^2z+2xyz<xy^2+x^2y+yz^2+y^2z+xz^2+x^2z+3xyz

0<xyz

xyz-положительное число, так как длина стороны треугольника не нулевое и не отрицательное число

  4
3 месяца 5 дней назад #

По формула Герона S2=(1a)(1b)(1c)=1abc+ab+bc+acabc>0 ab+bc+ac1>abc 2ab+2bc+2ac2>2abc

a2+b2+c2+2abc<a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac2=(a+b+c)22=2