Математикадан облыстық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 9 сынып
Комментарий/решение:
P=a+b+c=2⇒a<1,b<1,c<1⇒(1−c)(1−b)(1−c)>0
(1−a)(1−b)(1−c)=1−(a+b+c)+ab+bc+ac−abc=−1+ab+bc+ac−abc>0⇒
⇒−1+a2+b2+c22+ab+bc+ac−a2+b2+c22−abc=−1+(a+b+c)22−a2+b2+c22−abc>0⇒
⇒1>a2+b2+c22+abc⇒a2+b2+c2+2abc≤2
a=x+y
b=y+z
c=x+z
2(x+y+z)=2
x+y+z=1
(x+y)^2+(y+z)^2+(x+z)^2+2(x+y)(y+z)(x+z)<2
x^2+2xy+y^2+y^2+2yz+z^2+x^2+2xz+z^2+2(x+y)(y+z)(x+z)<2
2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz+(x+y)(y+z)(x+z))<2
x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz+(x+y)(y+z)(x+z)<1
x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz+(x+y)(y+z)(x+z)<x+y+z
x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz+(x+y)(y+z)(x+z)<(x+y+z)^2
x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz+(x+y)(y+z)(x+z)<x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz
(x+y)(y+z)(x+z)<xy+yz+xz
(x+y)(y+z)(x+z)<(x+y+z)(xy+yz+xz)
xy^2+x^2y+yz^2+y^2z+xz^2+x^2z+2xyz<xy^2+x^2y+yz^2+y^2z+xz^2+x^2z+3xyz
0<xyz
xyz-положительное число, так как длина стороны треугольника не нулевое и не отрицательное число
По формула Герона S2=(1−a)(1−b)(1−c)=1−a−b−c+ab+bc+ac−abc>0 ⇔ab+bc+ac−1>abc ⇔2ab+2bc+2ac−2>2abc
a2+b2+c2+2abc<a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac−2=(a+b+c)2−2=2
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.