Областная олимпиада по математике, 2005 год, 9 класс

Докажите, что если все стороны треугольника меньше 1, то его площадь меньше $\sqrt 3 /4$.

Комментарий/решение

Один угол будет не больше 60, поэтому

$$S=\frac{sinA\cdot AC\cdot AB}{2} <\frac{sin60\cdot 1\cdot 1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$$

Пусть a,b,c>=1 очевидно что чем больше сторона треугольника тем больше площадь. Поэтому сделаем треугольник со сторонами (1 1 1) получаем равносторонний треугольник

Затем же делаем высоту из любой вершины тогда высота будет равна sqrt(3)/2

Как мы знаем площадь равна=h*1/2*ah=sqrt(3)/2*1/2*1=sqrt(3)/4

получаем самую маленькую площадь для a,b,c>=1 sqrt(3)/4 по условию a,b,c стороны <1 и площадь будет соответственно меньше