Математикадан облыстық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Келесі теңдікті қанағаттандыратын барлық бүтін

$\left( x,y \right)$ жұптарын табыңыздар:

$x{{y}^{2}}+xy+{{x}^{2}}-2y-1=0$ .
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$g$ функциясы натурал

$1\le n\le 2003$ сандарында анықталған және келесі шарттарды қанағаттандырады:

$g\left( 2 \right)=1$ ;

$g\left( 2n \right)=g\left( n \right)$ ;

$g\left( 2n+1 \right)=g\left( 2n \right)+1$ .

$g$ функциясының макмимумы

$M$ болсын.

$M$ -ді және

$g\left( n \right)=M$ теңдігін қанағаттандыратын барлық натурал

$n$ сандарының жалпы санын анықтаңыз.
комментарий/решение(4)

Есеп №3.

${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ тізбегінің әр мүшесі

$\left( 0,\dfrac{\pi }{2} \right)$ аралығында орналасқан және келесі теңсіздікті қанағаттандырады:

$tg{{x}_{1}}+tg{{x}_{2}}+\ldots +tg{{x}_{n}}\le n$ . Онда

$\sin {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}\cdot \ldots \cdot \sin {{x}_{n}}\le {{2}^{-\frac{n}{2}}}$ теңсіздігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Параллелограмның әр қабырғасының бойынан бір нүктеден белгіленген. Пайда болған төртбұрыштың периметрі параллелограмның кіші диагоналінің екі есенленген ұзындығынан кіші болмайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

${{a}_{1}} < {{a}_{2}} < \ldots < {{a}_{n}}$ тізбегі

$n$ -нің қандай мәндерінде

$\left\{ {{a}_{j}}-{{a}_{i}}|1\le i < j\le n \right\}=\left\{ 1,\ 2, \ldots,\dfrac{n(n-1)}{2} \right\}$ шартын қанағаттандырады?
комментарий/решение

Есеп №6.

$ABC$ үшбұрышында

$\angle ACB$ -ның биссектрисасы

$AB$ қабырғасын

$K$ нүктесінде қияды, ал оған сырттай сызылған шеңберді

$L$

$\left( L\ne C \right)$ нүктесінде қияды.

$V$ арқылы

$ABC$ -ға сырттай сызылған шеңбердің центрін, ал

$Z$ арқылы

$AB$ және

$SL$ түзулерінің қиылысу нүктесін белгілейік. Онда

$SK$ түзуі

$KLZ$ -ке сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №7.

$p(x)={{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ көпмүшелігінің әр түрлі төрт натурал түбірлері бар және

$p\left( 2003 \right)=2002$ .

$q(x)={{x}^{2}}-2x+2003$ болсын.

$p(q(x))$ көпмүшелігінің нақты түбірлері жоқ екені белгілі.

$p\left( x \right)$ көпмүшелігінің

$a$ коэффициентін табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №8. Халықаралық конференцияда төрт ресми тіл бар, және коференцияға қатысушы кез келген екі адам қандай да бір ортақ тілдің біреуімен сөйлесе алатыны белгілі. Қандай да бір тілді қатысушылардың кем дегенде 60%-і білетінін дәледдеңіз.
комментарий/решение