қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 10 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Келесі теңдікті қанағаттандыратын барлық бүтін $\left( x,y \right)$ жұптарын табыңыздар: $x{{y}^{2}}+xy+{{x}^{2}}-2y-1=0$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $g$ функциясы натурал $1\le n\le 2003$ сандарында анықталған және келесі шарттарды қанағаттандырады:
$g\left( 2 \right)=1$;
$g\left( 2n \right)=g\left( n \right)$;
$g\left( 2n+1 \right)=g\left( 2n \right)+1$.
$g$ функциясының макмимумы $M$ болсын. $M$-ді және $g\left( n \right)=M$ теңдігін қанағаттандыратын барлық натурал $n$ сандарының жалпы санын анықтаңыз.
комментарий/решение(4)
$g\left( 2 \right)=1$;
$g\left( 2n \right)=g\left( n \right)$;
$g\left( 2n+1 \right)=g\left( 2n \right)+1$.
$g$ функциясының макмимумы $M$ болсын. $M$-ді және $g\left( n \right)=M$ теңдігін қанағаттандыратын барлық натурал $n$ сандарының жалпы санын анықтаңыз.
комментарий/решение(4)
Есеп №3. ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ тізбегінің әр мүшесі $\left( 0,\dfrac{\pi }{2} \right)$ аралығында орналасқан және келесі теңсіздікті қанағаттандырады: $tg{{x}_{1}}+tg{{x}_{2}}+\ldots +tg{{x}_{n}}\le n$. Онда $\sin {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}\cdot \ldots \cdot \sin {{x}_{n}}\le {{2}^{-\frac{n}{2}}}$ теңсіздігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Параллелограмның әр қабырғасының бойынан бір нүктеден белгіленген. Пайда болған төртбұрыштың периметрі параллелограмның кіші диагоналінің екі есенленген ұзындығынан кіші болмайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. ${{a}_{1}} < {{a}_{2}} < \ldots < {{a}_{n}}$ тізбегі $n$-нің қандай мәндерінде $\left\{ {{a}_{j}}-{{a}_{i}}|1\le i < j\le n \right\}=\left\{ 1,\ 2, \ldots,\dfrac{n(n-1)}{2} \right\}$ шартын қанағаттандырады?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. $ABC$ үшбұрышында $\angle ACB$-ның биссектрисасы $AB$ қабырғасын $K$ нүктесінде қияды, ал оған сырттай сызылған шеңберді $L$ $\left( L\ne C \right)$ нүктесінде қияды. $V$ арқылы $ABC$-ға сырттай сызылған шеңбердің центрін, ал $Z$ арқылы $AB$ және $SL$ түзулерінің қиылысу нүктесін белгілейік. Онда $SK$ түзуі $KLZ$-ке сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. $p(x)={{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ көпмүшелігінің әр түрлі төрт натурал түбірлері бар және $p\left( 2003 \right)=2002$. $q(x)={{x}^{2}}-2x+2003$ болсын. $p(q(x))$ көпмүшелігінің нақты түбірлері жоқ екені белгілі. $p\left( x \right)$ көпмүшелігінің $a$ коэффициентін табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. Халықаралық конференцияда төрт ресми тіл бар, және коференцияға қатысушы кез келген екі адам қандай да бір ортақ тілдің біреуімен сөйлесе алатыны белгілі. Қандай да бір тілді қатысушылардың кем дегенде 60%-і білетінін дәледдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение