Областная олимпиада по математике, 2003 год, 10 класс

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $ACB$ пересекает сторону $AB$ в точке $K$, а описанную окружность в точке $L$ ($L\neq C$). Обозначим через $V$ центр вписанной окружности треугольника $ABC$, через $S$ — центр описанной окружности треугольника $KBV$, через $Z$ — точку пересечения прямой $AB$ и $SL$. Докажите, что прямая $SK$ касается описанной окружности $\triangle KLZ$.

Комментарий/решение

По лемме о трезубце $LV=LB$. S — центр описанной окружности треугольника $KBV \Rightarrow SV=SB.$

$LV=LB, SV=SB \Rightarrow SL \bot VB$,

$\angle SKB = 180 - \angle KSB = 180 - 2\angle LVB = 180 - 2(90 - \angle VLS) = \angle VLS \Leftrightarrow SK$ касается описанной окружности $\triangle KLZ$