Областная олимпиада по математике, 2003 год, 10 класс
В треугольнике $ ABC$ биссектриса угла $ ACB$ пересекает сторону
$AB$ в точке $K$, а описанную окружность в точке $L$ ($L\neq C$).
Обозначим через $V$ центр вписанной окружности треугольника $ ABC$,
через $S$ — центр описанной окружности треугольника $ KBV$, через
$Z$ — точку пересечения прямой $AB$ и $SL$. Докажите, что прямая
$SK$ касается описанной окружности $\triangle KLZ$.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
По лемме о трезубце $LV=LB$. S — центр описанной окружности треугольника $KBV \Rightarrow SV=SB. $
$LV=LB, SV=SB \Rightarrow SL \bot VB$,
$\angle SKB = 180 - \angle KSB = 180 - 2\angle LVB = 180 - 2(90 - \angle VLS) = \angle VLS \Leftrightarrow SK$ касается описанной окружности $\triangle KLZ$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.