Математикадан облыстық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 10 сынып

$ABC$ үшбұрышында $\angle ACB$-ның биссектрисасы $AB$ қабырғасын $K$ нүктесінде қияды, ал оған сырттай сызылған шеңберді $L$ $\left( L\ne C \right)$ нүктесінде қияды. $V$ арқылы $ABC$-ға сырттай сызылған шеңбердің центрін, ал $Z$ арқылы $AB$ және $SL$ түзулерінің қиылысу нүктесін белгілейік. Онда $SK$ түзуі $KLZ$-ке сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

По лемме о трезубце $LV=LB$. S — центр описанной окружности треугольника $KBV \Rightarrow SV=SB.$

$LV=LB, SV=SB \Rightarrow SL \bot VB$,

$\angle SKB = 180 - \angle KSB = 180 - 2\angle LVB = 180 - 2(90 - \angle VLS) = \angle VLS \Leftrightarrow SK$ касается описанной окружности $\triangle KLZ$