Областная олимпиада по математике, 2003 год, 10 класс
Известно, что многочлен p(x)=x4+ax3+bx2+cx+d имеет четыре различных натуральных корня и p(2003)=2002. Пусть q(x)=x2−2x+2003. Известно также, что многочлен p(q(x)) не имеет действительных корней. Определите значение a.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ:−7979,−7973,−7912,−7907,−7969,−7967,−7859.
Пусть корни многочлена будут x1,x2,x3,x4, тогда p(x)=(x−x1)(x−x2)(x−x3)(x−x4). И так как p(q(x)) не имеет решение, каждая скобка q(x)−xi (i=1,2,3,4) не будет иметь решение. Тогда у каждого квадратного трехчлена D=22−4(2003−xi)=4(xi−2002)<0, тогда xi<2002. Тогда решим деофантого уравнение:
p(2003)=2002 или (2003−x1)(2003−x2)(2003−x3)(2003−x4)=2002. Так как 2002=2∗7∗11∗13=1∗14∗11∗13=1∗7∗22∗13=1∗7∗11∗26=1∗2∗77∗13=1∗2∗11∗91=1∗2∗7∗143, тогда по теореме Виета a=−(x1+x2+x3+x4).
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.