Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2003 год, 10 класс


Известно, что многочлен p(x)=x4+ax3+bx2+cx+d имеет четыре различных натуральных корня и p(2003)=2002. Пусть q(x)=x22x+2003. Известно также, что многочлен p(q(x)) не имеет действительных корней. Определите значение a.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
5 года 6 месяца назад #

Ответ:7979,7973,7912,7907,7969,7967,7859.

Пусть корни многочлена будут x1,x2,x3,x4, тогда p(x)=(xx1)(xx2)(xx3)(xx4). И так как p(q(x)) не имеет решение, каждая скобка q(x)xi (i=1,2,3,4) не будет иметь решение. Тогда у каждого квадратного трехчлена D=224(2003xi)=4(xi2002)<0, тогда xi<2002. Тогда решим деофантого уравнение:

p(2003)=2002 или (2003x1)(2003x2)(2003x3)(2003x4)=2002. Так как 2002=271113=1141113=172213=171126=127713=121191=127143, тогда по теореме Виета a=(x1+x2+x3+x4).