Областная олимпиада по математике, 2003 год, 10 класс

Известно, что многочлен $p(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ имеет четыре различных натуральных корня и $p(2003)=2002$. Пусть $q(x) = x^2 - 2x + 2003$. Известно также, что многочлен $p(q(x))$ не имеет действительных корней. Определите значение $a$.

Комментарий/решение

$Ответ: -7979,-7973,-7912,-7907,-7969,-7967,-7859.$

Пусть корни многочлена будут $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$, тогда $p(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})$. И так как $p(q(x))$ не имеет решение, каждая скобка $q(x)-x_{i}$ (i=1,2,3,4) не будет иметь решение. Тогда у каждого квадратного трехчлена $D=2^2-4(2003-x_{i})=4(x_{i}-2002)<0$, тогда $x_{i}<2002$. Тогда решим деофантого уравнение:

$p(2003)=2002$ или $(2003-x_{1})(2003-x_{2})(2003-x_{3})(2003-x_{4})=2002$. Так как $2002=2*7*11*13=1*14*11*13=1*7*22*13=1*7*11*26=1*2*77*13=1*2*11*91=1*2*7*143$, тогда по теореме Виета $a=-$($x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}$).