Processing math: 100%

Математикадан облыстық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 10 сынып


p(x)=x4+ax3+bx2+cx+d көпмүшелігінің әр түрлі төрт натурал түбірлері бар және p(2003)=2002. q(x)=x22x+2003 болсын. p(q(x)) көпмүшелігінің нақты түбірлері жоқ екені белгілі. p(x) көпмүшелігінің a коэффициентін табыңыз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
5 года 8 месяца назад #

Ответ:7979,7973,7912,7907,7969,7967,7859.

Пусть корни многочлена будут x1,x2,x3,x4, тогда p(x)=(xx1)(xx2)(xx3)(xx4). И так как p(q(x)) не имеет решение, каждая скобка q(x)xi (i=1,2,3,4) не будет иметь решение. Тогда у каждого квадратного трехчлена D=224(2003xi)=4(xi2002)<0, тогда xi<2002. Тогда решим деофантого уравнение:

p(2003)=2002 или (2003x1)(2003x2)(2003x3)(2003x4)=2002. Так как 2002=271113=1141113=172213=171126=127713=121191=127143, тогда по теореме Виета a=(x1+x2+x3+x4).