қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2003 год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Найдите действительные числа $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_{2003}$, любое из которых равно сумме квадратов остальных чисел.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Точки $P$ и $Q$ — основания перпендикуляров, опущенных из вершины $C$ на прямые, содержащие биссектрисы углов $\angle BAC$ и $\angle ABC$ соответственно. Докажите, что прямые $AB$ и $PQ$ — параллельны.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Клетчатая доска размера $2m\times 2n$ ($m$ и $n$ — натуральные числа) полностью покрыта доминошками размера $1 \times 2$ без наложений. Докажите, что эту доску можно полностью покрыть вторым слоем доминошек так, что никакие две доминошки первого и второго слоя не будут совпадать.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. На столе лежит 2003 камня. Двое игроков по очереди убирают некоторое количество камней, не меньше одного, но не больше половины из оставшихся камней на каждом шагу. Проигрывает тот, после хода которого останется 1 камень. Какой из игроков, первый или второй, при правильной игре победит в данной игре?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Пусть положительные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют условию $ab + bc + ca = 1$.
Докажите, что
$$
\frac{1}
{{a + b}} + \frac{1}
{{b + c}} + \frac{1}
{{c + a}} \geq \sqrt 3 + \frac{{ab}}
{{a + b}} + \frac{{bc}}
{{b + c}} + \frac{{ca}}
{{c + a}}.
$$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. Пусть $a_n=n^2+500$ и $d_n=2+{\mathop{\hbox{НОД}}\nolimits}(a_n, a_{n+1})$ для любого натурального $n$. Определите наибольшее значение $d_n$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №7. Пусть точка $D$ является серединой дуги $BC$ (не содержащей точки $A$) описанной окружности $\triangle ABC$. Точка $E$ является зеркальным отображением точки $D$ относительно прямой $BC$. Точки $K, ~L, ~M, ~N$ являются серединами отрезков $ AE, ~AB, ~BC, ~CA$ соответственно. Докажите, что точка $K$ лежит на описанной окружности $\triangle LMN$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. Алпамыс выписал в тетради семь натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_7$
и выписал на доске числа $a_i\cdot a_j$, $a_i +a_j$, $|a_i - a_j|$ для всех
$i\neq j$. Найдите наибольшее возможное количество различных нечетных чисел на доске.
комментарий/решение(15)
комментарий/решение(15)