Областная олимпиада по математике, 2003 год, 9 класс

Пусть точка $D$ является серединой дуги $BC$ (не содержащей точки $A$) описанной окружности $\triangle ABC$. Точка $E$ является зеркальным отображением точки $D$ относительно прямой $BC$. Точки $K, ~L, ~M, ~N$ являются серединами отрезков $AE, ~AB, ~BC, ~CA$ соответственно. Докажите, что точка $K$ лежит на описанной окружности $\triangle LMN$.

Комментарий/решение

Точки $D,M,E$ лежат на одной прямой которая проходит через центр описанной окружности . Очевидно что $\Delta DMC = \Delta BME$ и $\Delta BMD = \Delta DME$, откуда $CD=BE = 2KL$ , $BD = CE = 2LN$ как средние линий . Значит $\angle BDC=\angle LKN$ , откуда и следует то что $K$ лежит на окружности описанной около $\Delta KNL$.