Математикадан облыстық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 9 сынып

$D$ нүктесі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің $BC$ доғасының ($A$ нүктесі жатпайтын) ортасы. $E$ нүктесі $BC$ түзуіне қарағанда $D$ нүктесіне симметриялы нүкте. $K$, $L$, $M$, $N$ нүктелері сәйкесінше $AE$, $AB$, $BC$, $CA$ кесінділерінің орталары. $K$ нүктесі $LMN$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберде жататынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Точки $D,M,E$ лежат на одной прямой которая проходит через центр описанной окружности . Очевидно что $\Delta DMC = \Delta BME$ и $\Delta BMD = \Delta DME $, откуда $CD=BE = 2KL$ , $BD = CE = 2LN$ как средние линий . Значит $\angle BDC=\angle LKN$ , откуда и следует то что $K$ лежит на окружности описанной около $\Delta KNL$.