Processing math: 100%

Областная олимпиада по математике, 2003 год, 9 класс


Алпамыс выписал в тетради семь натуральных чисел a1, a2, , a7 и выписал на доске числа aiaj, ai+aj, |aiaj| для всех ij. Найдите наибольшее возможное количество различных нечетных чисел на доске.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   4
3 года назад #

Ответ:30 нечетных чисел

Сразу удалим четные числа на доске. Рассмотрим 6 чисел, где k из которых четные, а 6k - нечетные, добавим седьмое число и найдем наибольшее число нечетных чисел на доске. Пусть f(ai,aj)= количество выписанных чисел для ai и aj, тогда f(чет,чет)=0,f(чет,нечет)=2,f(нечет,нечет)=1

Есть два случая:

1)k>2, пусть S= количество выписанных нечетных чисел на доске, рассмотрим насколько изменяется S. Если добавленное 7-ое число четно, тогда S7=S6+0k+2(6k)=S6+122k, если добавленное число нечетно, тогда S7=S6+2k+1(6k)=S6+6+k. S6+122k<S6+6+k, поэтому добавлять нечетное число будет эффективнее. Перебирая варианты k=3,4,5,6 получаем, что

1)k=3, 3 четных и 3 нечетных, S6=6+6+6+2+1=21,S7=21+6+3=30;

2)k=4, 4 четных и 2 нечетных, S6=4+4+4+4+1=17,S7=17+6+4=27;

3)k=5, 5 четных и 1 нечетное, S6=2+2+2+2+2=10,S7=10+6+5=21;

4)k=6, S6=0,S7=0+6+6=12;

max(S7)=30

2)k2, тогда выгодно брать четное число.

1)k=2, 2 четных и 4 нечетных, S6=8+8+3+2+1=22,S7=22+124=30;

2)k=1, 1 четное и 5 нечетных, S6=10+4+3+2+1=20,S7=20+122=30;

3)k=0, 0 четных и 6 нечетных, S6=5+4+3+2+1=15,S7=15+120=27.

Пример для 30 (k=1): a1=1,a2=7,a3=31,a4=127,a5=511,a6=2020,a7=6060.

пред. Правка 3   2
3 года 10 месяца назад #

Вот другая оценка что максимум 30 через неравенство:

Пусть k число нечетных чисел из семи. То S=2k(7k)+k(k1)2, так как k(7k) число пар (чётное,нечётное), а k(k1)2 число пар (нечётное,нечётное)

S=27k3k22=24312(k4,5)28243120,528=30

пред. Правка 2   3
3 года назад #

Для тех кто не понял почему последнее неравенство AbenSad-а верно:

Рассмотрим параболу 32k2+272k. Ее максимальная точка равна при k=272232=4,5, при которой S=30.375, но SZ,S30

  1
3 года назад #

ты что-то замудрил, просто используем то что k натуральное, и нам нужно найти минимальное значение (k4.5)2, что очевидно будет 0.52

  0
3 года назад #

интересные решения

  3
3 года назад #

я просто из тех, кто не понял неравенство, но теперь понял, спс

  1
3 года назад #

как ты не понимаешь это, но берёшь серебро на респе(как минимум должно было, просто почему-то в последнее время только 40% или меньше дают места на респе, жауте. А должны 45-50%)

  3
3 года назад #

я такой типа: так, то есть должно быть (k4.5)20.52, то есть k4.50.5, почему??????

и да, по идее справедливо, что не дали серебро, 2 полных задач нет, + мотивация чалить лучше)

  1
3 года назад #

бро в прошлом году вообще давали на 30%..

  2
2 года 8 месяца назад #

Пророчествующий комент

пред. Правка 3   5
3 года 10 месяца назад #

Мне кажется или мое решение не отображается на "Последние обсуждения"? Попробую отредактировать

Изменено: не работает

  1
3 года 10 месяца назад #

Кажется отображалось. Я же как-то увидел.

  1
3 года 10 месяца назад #

когда пост кто-то публикует (решение) оно моментально отображается. но когда кто-то комментирует это решение, показывается уже аккаунт комментатора вместо автора решения.

например после этого сообщения будет отображаться мой никнейм.

  1
3 года 10 месяца назад #

И ещё один нюанс кто последним прокомментирует или обновит пост, то его имя будет отображаться на главной странице сайта.

  4
3 года 10 месяца назад #

понял, принял