Областная олимпиада по математике, 2003 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Ответ:30 нечетных чисел
Сразу удалим четные числа на доске. Рассмотрим 6 чисел, где k из которых четные, а 6−k - нечетные, добавим седьмое число и найдем наибольшее число нечетных чисел на доске. Пусть f(ai,aj)= количество выписанных чисел для ai и aj, тогда f(чет,чет)=0,f(чет,нечет)=2,f(нечет,нечет)=1
Есть два случая:
1)k>2, пусть S= количество выписанных нечетных чисел на доске, рассмотрим насколько изменяется S. Если добавленное 7-ое число четно, тогда S7=S6+0⋅k+2⋅(6−k)=S6+12−2k, если добавленное число нечетно, тогда S7=S6+2⋅k+1⋅(6−k)=S6+6+k. S6+12−2k<S6+6+k, поэтому добавлять нечетное число будет эффективнее. Перебирая варианты k=3,4,5,6 получаем, что
1)k=3, 3 четных и 3 нечетных, S6=6+6+6+2+1=21,S7=21+6+3=30;
2)k=4, 4 четных и 2 нечетных, S6=4+4+4+4+1=17,S7=17+6+4=27;
3)k=5, 5 четных и 1 нечетное, S6=2+2+2+2+2=10,S7=10+6+5=21;
4)k=6, S6=0,S7=0+6+6=12;
max(S7)=30
2)k≤2, тогда выгодно брать четное число.
1)k=2, 2 четных и 4 нечетных, S6=8+8+3+2+1=22,S7=22+12−4=30;
2)k=1, 1 четное и 5 нечетных, S6=10+4+3+2+1=20,S7=20+12−2=30;
3)k=0, 0 четных и 6 нечетных, S6=5+4+3+2+1=15,S7=15+12−0=27.
Пример для 30 (k=1): a1=1,a2=7,a3=31,a4=127,a5=511,a6=2020,a7=6060.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.