Областная олимпиада по математике, 2003 год, 9 класс
Комментарий/решение:
$$ \textbf{1.} НОД(a,b)=НОД(b,a)$$
$$ \textbf{2.} НОД(a,b)=НОД(a-b,a)$$
$$ НОД(a_n,a_{n+1})=НОД(n^2,(n+1)^2+500)=НОД((n+1)^2+500,n^2)=НОД(2n+501,n^2)$$
$$\textbf{1)}n^2>(2n+501) \Rightarrow n^2=k(2n+501) \Rightarrow D=4k^2+4\cdot 501>0\Rightarrow n_{1,2}=k\pm \sqrt{k^2+501}$$
$$ k^2+501=m^2\Rightarrow (m-k)(m+k)=167\cdot 3= 3\cdot167$$
$$ (m,k): (\pm85,\mp82),(\pm85,\pm82)$$
$$ n\in N \Rightarrow n(82)=82+\sqrt{501+82^2}=167\in N$$
$$d_{167}=2+НОД(2\cdot 167+501,167^2)=2+167=169$$
$$ \textbf{2)}n^2<(2n+501) \Rightarrow 2n+501=kn^2 \Rightarrow D=4+4k\cdot501>0\Rightarrow n_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1+k\cdot501}}{k}\Rightarrow k $$
$$ (nk)^2-2nk+1=1+k\cdot 501$$
$$ nk(nk-2)=k\cdot 501\Rightarrow n(nk-2)=501=167\cdot 3= 3\cdot167\Rightarrow n, k \notin N$$
$$ \textbf{3)} n^2=2n+501 \Rightarrow n \notin N$$
$$\textbf{OTBET:} \max \left\{d_n\right\}_{n\in N}=d_{167}=169$$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.