Processing math: 61%

Областная олимпиада по математике, 2003 год, 9 класс


Пусть an=n2+500 и dn=2+НОД(an,an+1) для любого натурального n. Определите наибольшее значение dn.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
6 года 7 месяца назад #

1.НОД(a,b)=НОД(b,a)

2.НОД(a,b)=НОД(ab,a)

НОД(an,an+1)=НОД(n2,(n+1)2+500)=НОД((n+1)2+500,n2)=НОД(2n+501,n2)

1)n2>(2n+501)n2=k(2n+501)D=4k2+4501>0n1,2=k±k2+501

k2+501=m2(mk)(m+k)=1673=3167

(m,k):(±85,82),(±85,±82)

nNn(82)=82+501+822=167N

d167=2+НОД(2167+501,1672)=2+167=169

2)n2<(2n+501)2n+501=kn2D=4+4k501>0n1,2=1±1+k501kk

(nk)22nk+1=1+k501

nk(nk2)=k501n(nk2)=501=1673=3167n,kN

3)n2=2n+501nN

OTBET:max

  1
6 года 1 месяца назад #

Почему "a_{n}=n^2"? a_{n}=n^2+500.

  3
3 года 10 месяца назад #

Ответ: 2003

Рассмотрим d_{2k} и d_{2k+1}.

d_{2k}-2=(a_{2k+1},a_{2k})=(4k+1,4k^2+500)=(4k+1,500-k)=(2001,500-k)\leq2001

d_{2k+1}-2=(4k^2+4k+501, 4k+3)=(-3k-3+501,4k+3)=(498-3k,k+501)=(2001,k+501)\leq2001, значит максимум d_{n}=2003, например: n=3001.

пред. Правка 2   3
1 месяца 21 дней назад #