Областная олимпиада по математике, 2003 год, 9 класс
Пусть an=n2+500 и dn=2+НОД(an,an+1) для любого натурального n. Определите наибольшее значение dn.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
1.НОД(a,b)=НОД(b,a)
2.НОД(a,b)=НОД(a−b,a)
НОД(an,an+1)=НОД(n2,(n+1)2+500)=НОД((n+1)2+500,n2)=НОД(2n+501,n2)
1)n2>(2n+501)⇒n2=k(2n+501)⇒D=4k2+4⋅501>0⇒n1,2=k±√k2+501
k2+501=m2⇒(m−k)(m+k)=167⋅3=3⋅167
(m,k):(±85,∓82),(±85,±82)
n∈N⇒n(82)=82+√501+822=167∈N
d167=2+НОД(2⋅167+501,1672)=2+167=169
2)n2<(2n+501)⇒2n+501=kn2⇒D=4+4k⋅501>0⇒n1,2=1±√1+k⋅501k⇒k
(nk)2−2nk+1=1+k⋅501
nk(nk−2)=k⋅501⇒n(nk−2)=501=167⋅3=3⋅167⇒n,k∉N
3)n2=2n+501⇒n∉N
OTBET:max
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.