Областная олимпиада по математике, 2003 год, 9 класс
Пусть положительные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют условию $ab + bc + ca = 1$.
Докажите, что
$$
\frac{1}
{{a + b}} + \frac{1}
{{b + c}} + \frac{1}
{{c + a}} \geq \sqrt 3 + \frac{{ab}}
{{a + b}} + \frac{{bc}}
{{b + c}} + \frac{{ca}}
{{c + a}}.
$$
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
$$ \Rightarrow \frac{1-ab}{a+b}+\frac{1-bc}{b+c}+\frac{1-ca}{c+a}\geq \sqrt{3}\Rightarrow$$
$$ \Rightarrow \frac{c(a+b)}{a+b}+\frac{a(b+c)}{b+c}+\frac{b(a+c)}{c+a}\geq \sqrt{3}\Rightarrow$$
$$ \Rightarrow a+b+c \geq \sqrt{3}, \qquad (*)$$
$$ \sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt{c^2+b^2+a^2}\geq (ab+bc+ac)=1\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq 1$$
$$ (*) \Rightarrow (a+b+c)^2\geq 3 \Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 3-2(ab+bc+ca)=1$$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.