Областная олимпиада по математике, 2003 год, 9 класс

Пусть положительные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют условию $ab + bc + ca = 1$. Докажите, что $$\frac{1} {{a + b}} + \frac{1} {{b + c}} + \frac{1} {{c + a}} \geq \sqrt 3 + \frac{{ab}} {{a + b}} + \frac{{bc}} {{b + c}} + \frac{{ca}} {{c + a}}.$$

Комментарий/решение

$$\Rightarrow \frac{1-ab}{a+b}+\frac{1-bc}{b+c}+\frac{1-ca}{c+a}\geq \sqrt{3}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \frac{c(a+b)}{a+b}+\frac{a(b+c)}{b+c}+\frac{b(a+c)}{c+a}\geq \sqrt{3}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow a+b+c \geq \sqrt{3}, \qquad (*)$$

$$\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt{c^2+b^2+a^2}\geq (ab+bc+ac)=1\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq 1$$

$$(*) \Rightarrow (a+b+c)^2\geq 3 \Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 3-2(ab+bc+ca)=1$$

$(!)a+b+c \geq \sqrt{3}$

$(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ac) \rightarrow (a+b+c)^2 \geq 3.$