Областная олимпиада по математике, 2002 год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Дана окружность

$\omega$ , и точки

$P$ и

$Q$ на ней. Пусть

$M$ — середина

$PQ$ . На окружности выбраны точки

$A$ и

$C$ таким образом, что

$AC$ проходит через

$M$ . Также на окружности выбраны точки

$C$ и

$D$ таким образом, что

$ABCD$ является трапецией. Прямая

$AB$ параллельна прямой

$CD$ , и обе они параллельны

$PQ$ . Докажите, что точка

$X$ , являющаяся точкой пересечения прямых

$AD$ и

$BC$ , не зависит от выбора точки

$A$ на данной окружности.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Найдите все значения целого

$n$ при котором многочлен

$P(x)=x^5-nx-n-2$ может быть представлен в виде произведения двух многочленов с целыми коэффициентами (не являющихся константами).
комментарий/решение

Задача №3. Вещественные числа

$x$ ,

$y$ ,

$z$ удовлетворяют равенству

$x+y+z=0$ . Докажите, что

$6{\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)^2} \leq {\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)^3}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. В трех школах учатся по 200 школьников в каждой. У каждого школьника имеется как минимум один друг в каждой школе (если школьник

$a$ является другом школьника

$b$ , то

$b$ является другом

$a)$ . Известно, что множество

$\Sigma$ , состоящее из 300 школьников, такое что для любой школы

$S$ и любых двух школьников

$x$ ,

$y\in \Sigma$ которые не учатся в школе

$S$ , число друзей в школе

$S$ для

$x$ и

$y$ различны. Докажите, что найдутся три ученика, по одному из каждой школы, которые дружат друг с другом.
комментарий/решение

Задача №5. Найдите все функции

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ для которых при любых вещественных

$x$ и

$y$ справедливо равенство

$f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2.$
комментарий/решение(3)

Задача №6. Две окружности пересекаются в точках

$A$ и

$B$ . Произвольная прямая проходит через

$B$ и вторично пересекает первую окружность в точке

$C$ , вторую — в точке

$D$ . Касательные к первой окружности в

$C$ , а ко второй — в

$D$ пересекаются в точке

$M$ . Через точку пересечения

$AM$ и

$CD$ проходит прямая, параллельная

$CM$ , пересекающая

$AC$ в точке

$K$ . Докажите, что

$KB$ касается второй окружности.
комментарий/решение(1)

Задача №7. Пусть

$a, b, c, d >0$ и

$\dfrac{1}{1+a^{4}}+\dfrac{1}{1+b{ }^{4}}+\dfrac{1}{1+c^{4}}+\dfrac{1}{1+d^{4}}=1.$ Докажите, что

$abcd \geq 3$ .
комментарий/решение(3)

Задача №8. В алфавите некоторого языка имеется

$n$ букв. Последовательность букв называется словом тогда и только тогда, если между любыми двумя одинаковыми буквами в ней не найдется двух одинаковых букв. Найдите количество слов максимально возможной длины.
комментарий/решение