Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2002 год, 11 класс


Найдите все функции f:RR для которых при любых вещественных x и y справедливо равенство f(x2+y)+f(f(x)y)=2f(f(x))+2y2.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
8 года 3 месяца назад #

Ответ :f(x)=x2

Если равенство выполнится при любом x,y ,то оно также выполнится и при y=0. Тогда f(x2)+f(f(x))=2f(f(x)). Перенесем второе слагаемое из левой части в правую и получим f(x2)=f(f(x)). Таким образом имеем два случая

1) функция нечетная и f(x)=x2. Проверкой убеждаемся, что это верно

2)функция четная и f(x)=x2. Проверка показала, что это не верно.

  2
6 года назад #

Не факт, что если f(x2)=f(f(x)), f(x)=x2 или f(x)=x2. Есть функция например: если x<0, f(x)=1, если x0, f(x)=0.

  3
6 года назад #

Ответ:f(x)=x2.

Пусть P(x,y) данное равенство. Тогда при P(x,f(x)):

f(x2+f(x))+f(0)=2f(f(x))+2(f(x))2.

А при P(x,x2):

f(0)+f(f(x)+x2)=2f(f(x))+2x4. Тогда 2f(f(x))+2(f(x))2=2f(f(x))+2x4, (f(x))2=x4. Есть два случая:

1) f(x)=x2. Проверкой убеждаемся, что это верно;

2) f(x)=x2. Проверка показала, что это не верно.