Областная олимпиада по математике, 2002 год, 11 класс
Найдите все функции f:R→R для которых при любых вещественных x и y справедливо равенство
f(x2+y)+f(f(x)−y)=2f(f(x))+2y2.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ :f(x)=x2
Если равенство выполнится при любом x,y ,то оно также выполнится и при y=0. Тогда f(x2)+f(f(x))=2f(f(x)). Перенесем второе слагаемое из левой части в правую и получим f(x2)=f(f(x)). Таким образом имеем два случая
1) функция нечетная и f(x)=x2. Проверкой убеждаемся, что это верно
2)функция четная и f(x)=−x2. Проверка показала, что это не верно.
Ответ:f(x)=x2.
Пусть P(x,y) данное равенство. Тогда при P(x,f(x)):
f(x2+f(x))+f(0)=2f(f(x))+2(f(x))2.
А при P(x,−x2):
f(0)+f(f(x)+x2)=2f(f(x))+2x4. Тогда 2f(f(x))+2(f(x))2=2f(f(x))+2x4, (f(x))2=x4. Есть два случая:
1) f(x)=x2. Проверкой убеждаемся, что это верно;
2) f(x)=−x2. Проверка показала, что это не верно.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.