Математикадан облыстық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Шеңбер және оның бойында жататын $P$ және $Q$ нүктелері берілген. $M$ нүктесі $PQ$-дің ортасы. $AC$ кесіндісі $M$ нүктесі арқылы өтетіндей етіп шеңбердің бойынан $A$ және $C$ нүктелері таңдап алынған. Шеңбердің бойынан $ABCD$ трапеция болатындай етіп $B$ және $D$ нүктелері таңдап алынған, $AB$ және $CD$ түзулері $PQ$-ға параллель. $AD$ және $BC$ қиылысу нүктесі $X$, бастапқы A$A$ нүктесін таңдап алғанға байланысты емес екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. $P\left( x \right)={{x}^{5}}-nx-n-2$ көпмүшелігі екі бүтін коэффициентті константа емес көпмүшеліктің көбейтіндісі түрінде жазуға болатындай $n$-нің барлық бүтін мәндерін табыңдар.
комментарий/решение

Есеп №3. $x,y,z$ нақты саңдары $x+y+z=0$ теңдеуін қанағаттаңдырады. Келесі теңсіздікті дәледдеңдер: $6{{\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}} \right)}^{2}}\le {{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{3}}$.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Үш мектептің әрқайсысында 200 оқушыдан оқиды. Әрбір оқушының әр мектепте кем дегеңде бір досы бар (егер $a$ оқушысы $b$ оқушысының досы болса, онда $b$ оқушысы да $a$ оқушысының досы деп есептелінеді). 300 оқушыдан тұратын $\sum $ жиыны бар. Бұл жиында кез келген $S$ мектебі және осы мектепте оқымайтын кез келген екі $x,y\in \sum $ оқушылары үшін, $S$ мектебінде оқитын достарының саны өзгеше екені белгілі. Әр түрлі мектептерде оқитын, бір-бірімен дос үш оқушы бар екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение

Есеп №5. $f\left( {{x}^{2}}+y \right)+f\left( f(x)-y \right)=2f\left( f(x) \right)+2{{y}^{2}}$ теңдігі кез келген $x$ және $y$ нақты сандары үшін орындалатын барлық $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңдар.
комментарий/решение(3)

Есеп №6. Екі шеңбер $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. $B$ нүктесі арқылы жүргізілген түзу бірінші және екінші шеңберді, $B$-дан өзгеше, сәкесінше $C$ және $D$ нүктелерінде қияды. Бірінші шеңберге $C$ нүктесінде жүргізілген жанама екінші шеңберге $D$ нүктесінде жүргізілген жанамамен $M$ нүктесінде қиылысады. $AM$ мен $CD$ түзулердің қиылысу нүктесі арқылы өтетін және $CM$-ге параллель болатын түзу $AC$ түзумен $K$ нүктеде қиылысады. $BK$ түзуі екінші шеңбердің жанамасы болып табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №7. Егер $a,b,c,d > 0$ және $\dfrac{1}{1+{{a}^{4}}}+\dfrac{1}{1+b{}^{4}}+\dfrac{1}{1+{{c}^{4}}}+\dfrac{1}{1+{{d}^{4}}}=1$ екені белгілі болса, оңда $abcd\ge 3$ теңсіздігін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(3)

Есеп №8. Белгісіз бір елдің алфавитінде $n$ әріп бар екені белгілі. Бұл елде әріптер тізбегі сөз деп аталады, сонда және тек сол кезде ғана, егер кез келген бірдей екі әріптің ортасында бірдей екі әріп болмаса. Мүмкін ең ұзын сөздердің жалпы санын табыңдар.
комментарий/решение