Областная олимпиада по математике, 2002 год, 11 класс

Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Произвольная прямая проходит через $B$ и вторично пересекает первую окружность в точке $C$, вторую — в точке $D$. Касательные к первой окружности в $C$, а ко второй — в $D$ пересекаются в точке $M$. Через точку пересечения $AM$ и $CD$ проходит прямая, параллельная $CM$, пересекающая $AC$ в точке $K$. Докажите, что $KB$ касается второй окружности.

Комментарий/решение

Пусть $E = AM \cap CD$, $F = KE \cap MD$. $\angle CAB = \angle MCD, \angle BAD = \angle MDC$, тогда $\angle CMD = 180^\circ - (\angle CAB + \angle BAD) = 180^\circ - \angle CAD$, откуда $CADM$ вписанный. $\angle KAB = \angle MCE = \angle KEC$, так как $KE \parallel CM$, значит $KAEB$ вписанный.$\angle DAM = \angle DCM = \angle DEF$, так как $FE \parallel CM$, значит $KF$ касается описанной окружности $AED$ в точке $E$, откуда $\angle ADE = \angle AEK = \angle ABK$, так как $KAEB$ вписанный, то есть $\angle ABK = \angle ADB$, а значит $BK$ касается описанной окружности треугольника $ABD$, что и требовалось доказать.